Рефераты, курсовые и дипломы на заказ без предоплаты.  Антиплагиат.
Студенточка.ru: на главную страницу.  рефераты, курсовые, дипломы на заказ без предоплаты в кратчайшие сроки  скидки и гарантии
Рефераты, курсовые, дипломные работы на заказ. Антиплагиат. Скидки
Прайс-лист Готовые работы Бесплатные материалы
ЗАКАЗАТЬ Специальности Банк рефератов
Консультации Статьи Подбор литературы
Готовые рефераты, курсовые и дипломы без предоплаты. Антиплагиат.
ЭКСПРЕСС - ЗАКАЗ:  для тех, кто экономит время и деньги при оформлении реферата,  курсовой, диплома на заказ

Воспользуйтесь формой поиска по сайту, чтобы найти реферат, курсовую или дипломную работу по вашей теме.

Поиск материалов

Комплексные числа и действия с ними

Математика

1. История развития комплексных чисел.

Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т. е. ещё в 16 веке.

И до этого открытия при решении квадратного уравнения x2 + + = px приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из (p/2) 2 - q, где величина (p/2) 2 была меньше, чем q. Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные числа считались «ложными») не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень.

Теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал и в 18 веке русский академик Эйлер - один из величайших математиков всех времён и народов. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831 г. когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием.

2. О комплексных числах.

Всвязи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Онии называются комплексными.

Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b - действитель-

ные числа, а i - число нового рода, называемое мнимой единицей.

«Мнимые» числа составляют частный вид комплексных чисел

(когда а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b - ординатой комплексного числа

a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведе-

ние i*i равно -1, т. е.

i2= -1. (1)

Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами - в частности правилу (1). Отсюда названия: «мнимая единица», «мнимое число» и т. п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.

Оставим в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i, потому что в разных областях науки этот смысл различен.

Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.

3. Соглашение о комплексных числах.

Действительное число а записывается также в виде a + 0i (или a - 0i).

П р и м е р ы. Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись -2 + 0i означает -2.

Комплексное число вида 0 + bi называется «чисто мнимым». Запись bi обозначает то же, что 0 + bi.

Два комплекных a + bi, a' + b'i считаются равными, если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если

a = a', b = b'. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство:

2 + 5i = 8 + 2i, то по правилам алгебры мы имели бы i = 2, тогда как i не должно бать действительным числом.

З а м е ч а н и е. Мы еще не определили, что такое с л о ж е н и е комплексных чисел. Поэтому, строго говоря, мы ещё не в праве утверждать, что число 2 + 5i есть сумма чисел 2 и 5i. Точнее было бы сказать, что у нас есть пара действительных чисел: 2 (абсцисса) и 5 (ордината); эти числа порождают число нового рода, условно обозначаемое 5 + 7i.

4. Сложение комплексных чисел

О п р е д е л е н и е. Суммой комплексных чисел a + bi и a' + b'i называют комплексное число (a + a') + (b + b') i.

Это определение подсказывается правилами действий с обачными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) + (4 - 8i) = 1 - 3i

Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т.д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример 4. (-2 + 3i) + (- 2 - 3i) = - 4

В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

З а м е ч а н и е. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a + bi как сумму чисел a и bi. Так, число 2 и число 5i в сумме дают число 2 + 5i.

4. Вычитание комплексных чисел.

О п р е д е л е н и е. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a' + b'i (вычитаемое) называется комплексное число (a - a') + (b - b') i.

Пример 1. (-5 + 2i) - (3 - 5i) = -8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) - (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

5. Умножение комплексных чисел.

Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a' + b'i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i 2= - 1. В силу требования 1) произведение (a + bi) (a' + b'i) должно равняться aa' + (ab' + ba') i + bb'i2, а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa' - bb') + (ab' + ba') i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение.

О п р е д е л е н и е. Произведением комплексных чисел a + bi и a' + b'i называется комплексное число

(aa' - bb') + (ab' + ba') i.

З а м е ч а н и е 1. Равенство i2 = -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i 2, т. е. i*i, равнозначна записи (0 + 1*i) (0 + 1*i). Здесь a = 0, b = 1, a' = 0, b' = 1 Имеем aa' - bb' = -1, ab' + ba' = 0, так что произведение есть -1 + 0i, т. е. -1.

З а м е ч а н и е 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i2 = -1.

Пример 1. (1 - 2i) (3 + 2i) = 3 - 6i + 2i - 4i 2 = 3 - 6i + 2i + 4 = 7 - 4i.

Пример 2. (a + bi) (a - bi) = a2 + b 2

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

6. Деление комплексных чисел.

Всоответсвии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

О п р е д л е н и е. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a' + b'i - значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно (доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом.

Пример 1. Найти частное (7 - 4i): (3 + 2i).

Записав дробь (7 - 4i) / (3 + 2i), расширяем её на число 3 - 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим:

((7 - 4i) (3 - 2i)) / ((3 + 2i) (3 - 2i)) = (13 - 26i) /13 = 1 - 2i.

Пример 1 предудущего параграфа даёт проверку.

Пример 2. (-2 +5i) / (-3 -4i) = ((-2 + 5i) (-3 - 4i)) / ((-3 - 4i) (-3 + 4i)) = (-14 -23i) /25 = -0, 56 - 0. 92i.

Проступая, как в примерах 1 и 2, найдем общую формулу:

Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a' + b'. Получим a + bi.

З а м е ч а н и е 1. Формулу (1) было бы принять за определение деления.

З а м е ч а н и е 2. Формулу (1) можно вывести ещё следующим образом. Согласно определению, мы должны иметь: (a' + b'i) (x + yi) = a + bi. Значит, должны удовлетворяться следующие два уравнения:

a'x - b'y = a; b'x + a'y = b.

Эта система имеет единственное решение:

если a'/b' = -b'/a', т. е. если a'2 + b'2 = 0.

Остается рассмотреть случай a'2 + b' 2 = 0. Он возможен лишь тогда, когда a' = 0 и b' = 0, т. е. когда делитель a' + b'i равен нулю. Если при этом и делимое a + bi равно нулю, то частное неопределено. Если же делимое не равно нулю, то частное не существует (говорят, что оно равно бесконечности).

7. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на фиг. 1, где точка А изображает число; а точка В - число -5. Эти же числа можно изображать также

отрезками ОА, ОВ, учитывая не только их длину, но и направление.

Каждая точка М «числовой прямой» изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОМ соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим). Таким образом, на числовой прямой не остаётся места для комплексных чисел.

Но комплексные числа можно изобразить на числовой плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (фиг. 2). Комплексное число a + bi мы изображаем точкой М, у которой абсцисса х (на фиг. 2 х=ОР=

=QM) равна абсциссе а комплексного, а ордината у (OQ=РM) равна ординате b комплексного числа.

П р и м е р ы. На фиг. 3 точка А с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5i. Точка В изображает комплексное число -2 + 6i; точка С - комплексное число - 6 - 2i; точка D - комплексное число 2 - 6i.

Действительные числа (в комплексной форме они имеют вид a + 0i) изображают точками оси Х, а чисто мнимые - точками оси У.

П р и м е р ы. Точка К на фиг. 3 изображает действительное число 6, точка L - чисто мнимое число 3i; точка N - чисто мнимое число - 4i. Начало координат изображают число 0.

Сопряжённые комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки С и С' на фиг. 3 изображают сопряжённые числа -6 - 2i и - 6 + 2i.

Комплексные можно изображать также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число -2 + 6i можно изобразить не только точкой В (фиг. 4), но также вектором ОВ; комплексное число -6 - 2i изображается вектором ОС и т.д.

З а м е ч а н и е. Давая какому - либо отрезку наименование «вектор», мы подчёркиваем, что существенное значение имеет не только длина, но и направление отрезка.

8. Модуль и аргумент комплексного числа.

Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi |, а также буквой r. Из чертежа видно, что

r = | a + bi | = a2 + b2

Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряжённые комплексные числа a + bi u a - bi имеют один и тот же модуль.

9. Геометрический смысл сложения и вычитания

комплексных чисел.

Пусть векторы ОМ и ОМ' (фиг. 4) изображают комплексные числа z= x + yi u z' = x' + y'i. Из точки М проведем вектор МК, равный OM'. Тогда вектор ОК изображает сумму данных комплексных чисел.

Построенный указанным образом вектор ОК называется геометрической суммой векторов ОМ и ОМ'.

Итак, сумма двух комплексных чисел представляется суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые.

Длина стороны ОК треугольника ОМК меньше суммы и больше разницы длин ОМ и МК. Поэтому

||z| - |z'|| Равенствоимеет смысл только в тех случаях, когда векторы ОМ и ОМ' имеют одинаковые (фиг. 5) или противоположные (фиг. 6) направления. В первом случае |OM| + |OM'| = |OK|, т. е. |z +z'|=|z| + + |z'|. Во втором случае |z + z'|=||z| - |z'||.

10. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и агрумент q. Формулами

a = r cos q; b = r sin q.

Поэтому всякое комплексное комплексное число можно представить в виде r (cos q + i sin q), где r > 0.

Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа.

Материал иснользовался из книги

М. Я. Выгодский; Справочник по элементарной математике: -

Государственное издательство физико-математической литературы; Москва; 1960


Описание предмета: «Математика»

Математика - система наук, изучающих количественные отношения и пространственные формы реальности.

Литература

  1. Н.И. Бойко, С.П. Чередниченко. Транспортно-грузовые системы и склады. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2007. – 400 с.
  2. Н.Г. Петрова, Н.И. Вишняков, С.А. Балохина, Л.А. Тептина. Основы маркетинга медицинских услуг. – М.: МЕДпресс-информ, 2008. – 112 с.
  3. А.Б. Грузинов, В.Р. Гринь, А.М. Крюков, Ю.И. Синещук, С.П. Навойцев. Основы качества информационной инфраструктуры организаций. В помощь руководителю организации. – М.: Ваш полиграфический партнер, 2011. – 290 с.
  4. В.И. Петров, С.В. Недогода. Медицина, основанная на доказательствах. – М.: ГЭОТАР-Медиа, 2012. – 144 с.
  5. В.И. Калашников, С.В. Нефедов. Электроника и микропроцессорная техника. – М.: Академия, 2012. – 368 с.
  6. Под редакцией А.И. Архипова, С.С. Ильина. Экономическая теория. – М.: ТК Велби, Проспект, 2008. – 608 с.
  7. Л.И. Колб, С.И. Леонович, И.И. Леонович. Медицина катастроф и чрезвычайных ситуаций. – М.: Вышэйшая школа, 2008. – 448 с.
  8. А.Д. Кирнев, В.А. Волосухин, А.И. Субботин, С.И. Евтушенко. Технология возведения зданий и сооружений из монолитного железобетона, инженерного назначения и в особых условиях строительства. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2008. – 528 с.
  9. В.И. Петров, С.В. Недогода. Медицина, основанная на доказательствах. – М.: ГЭОТАР-Медиа, 2009. – 144 с.
  10. А.И. Сандлер, С.А. Лагутин, А.В. Верховский. Производство червячных передач. – М.: Машиностроение, 2008. – 272 с.
  11. Н.И. Ганошенко, С.Ю. Мещерякова. Приобщение детей к художественно-эстетической деятельности. Игры и занятия с детьми раннего возраста. – М.: Мозаика-Синтез, 2008. – 64 с.
  12. А.П. Марков, Е.И. Марукович, С.С. Сергеев, И.М. Строцкий. Оптико-волоконная мутнометрия технических сред и масел. – М.: Беларуская Навука, 2011. – 288 с.
  13. И.И. Молотов, С.Ю. Самодуров, О.К. Костко. Альбом проектов индивидуальных домов. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2013. – 208 с.
  14. А.И.Качурин, С.П. Селезнев. Бокс в двух стойках. Учебное пособие. – М.: МИИТ, 2012. – 276 с.
  15. М.И. Моро, С.И. Волкова, С.В. Степанова. Математика. 1 класс. Разрезной счетный и игровой материал. Учебное пособие. – М.: Просвещение, 2015. – 16 с.
  16. Е.И. Матвеева, С.В. Бахтина. Комплексные диагностические работы в начальной школе. 4 класс. – М.: Вита-Пресс, 2016. – 96 с.
  17. А.И. Сандлер, С.А. Лагутин, Е.А. Гудов. Теория и практика производства червячных передач общего вида. Учебно-практическое пособие. – М.: Инфра-Инженерия, 2016. – 346 с.


Готовые работы

Тема и предметТип, объем и цена работы
Договор купли-продажи недвижимости
Гражданское право
Диплом
54 стр. / 5500 руб.
Договора купли-продажи недвижимости
Гражданское право
Диплом
98 стр. / 9500 руб.
Гражданско-правовой режим недвижимого имущества
Гражданское право
Диплом
98 стр. / 10600 руб.
Гражданско-правовой режим недвижимого имущества
Гражданское право
Диплом
67 стр. / 6800 руб.



Задайте свой вопрос по вашей работе

Гладышева Марина Михайловна

marina@studentochka.ru
+7 911 822-56-12
с 9 до 21 ч. по Москве.






Добавить файл к заказу

- осталось написать email или телефон

Внимание!

Банк рефератов, курсовых и дипломных работ содержит тексты, предназначенные только для ознакомления. Если Вы хотите каким-либо образом использовать указанные материалы, Вам следует обратиться к автору работы. Администрация сайта комментариев к работам, размещенным в банке рефератов, и разрешения на использование текстов целиком или каких-либо их частей не дает.

Мы не являемся авторами данных текстов, не пользуемся ими в своей деятельности и не продаем данные материалы за деньги. Мы принимаем претензии от авторов, чьи работы были добавлены в наш банк рефератов посетителями сайта без указания авторства текстов, и удаляем данные материалы по первому требованию.

Контакты
marina@studentochka.ru
+7 911 822-56-12
с 9 до 21 ч. по Москве.
Карта сайта ЗАКАЗАТЬ
Цены, скидки и акции
Реферат, доклад, эссе, контрольная 150 р./стр.
Курсовая от 175 р./стр.
Отчёт по практике 150 р./стр.
ВКР, дипломная от 200 р./стр.
Скидки. Антиплагиат.
Поделиться
Реклама



Мы в социальных сетях
Отзывы
Наташа
Огромное Вам спасибо, Марина! Не думала, что получу такие материалы, да еще так быстро! Еще раз искренне благодарю!