Воспользуйтесь формой поиска по сайту, чтобы найти реферат, курсовую или дипломную работу по вашей теме.

Понятие Модели появилось одновременно с попытками человека изучить окружающую действительность (Примеры: игра в куклы, географические карты). В настоящее время число построенных моделей трудно оценить даже приблизительно, вопрос об определении понятий модели и моделирования до сих пор дискуссионный.

МОДЕЛЬ - мысленно представляемая или материально реализованная система, которая отображая или воспроизводя объект исследования, способна заменить его так, что её изучение даст нам новую информацию об объекте.

МОДЕЛИРОВАНИЕ- изучение объектов исследования не непосредственно, а косвенным путём при помощи анализа некоторых вспомогательных объектов,называемых моделями.

В общефилософском плане очевидно, что многообразие форм действительности начинается с признания реальности существования моделируемых объектов, т.е. с признания объектов реальными. Этот анализ основывается на следующих положениях теории отражения:

1. Модель является отражением реально существующего объекта, причём точным(?) отражением.

2. Модель является (?) отражением объекта, следствием чего является сокращение и упрощение структуры оригинала.

ГОМОМОРФИЗМ - когда несколько свойств собираются в одно.

Модель воспроизводит основные, наиболее существенные для исследования стороны изучаемого объекта. 3. Модель всегда предполагает участие в её создании, конструировании , выборе познающего субъекта. * Из этих свойств вытекает

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ:

1. Модели более удобны для исслед., чем исх. объекты.

2.Моделирование позволяет выявить существенные факторы изучаемого obj или явления, поэтому является инструментом для более глубокого изучения реальности. Развитие методов моделирования определяет развитие любой науки.

(2) КЛАССИФИКАЦИЯ СРЕДСТВ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Классификация моделей по средствам является наиболее актуальна при анализе различных объек ов.

Моделирование

I. Материальное

A. физическое

B. аналоговое

C. пространственное

II. Идеальное

A. Формализованное

1. знаковое

2. образное

B. неформализованное

Моделирование называется МАТЕРИАЛЬНЫМ в том случае, когда исследование ведётся на моделях, связь которых с исследуемым объектом существует объективно, имеет материальный характер. Модели в этом случае строятся исследователем либо выбирается им из окружающего мира.

В ПРОСТРАНСТВЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ используются модели, предназначенные для восприятия пространственных или геометрических свойств изучаемого объекта. Модели в этом случае геометрически подобны объектам исследования ( любые макеты, глобусы).

АНАЛОГОВОЕ моделирование связано с использованием материальных моделей, имеющих другую физическую природу, чем изучаемый объект, но описывающихся теми же математическими соотношениями, что и изучаемый объект. Оно основано на аналогии математического описания моделей и объектов (Изучение механизмов колебаний с помощью электрических моделей, описываемых теми же дифференциальными уравнениями, но более удобной в проведении эксперимента.

ФИЗИЧЕСКОЕ моделирование предназначено для воспроизводства динамики процессов,происходящих в реальных объектах (продувка летательных и иных объектов в аэротрубе).

Во всех случаях при МАТЕРИАЛЬНОМ моделировании исследователь материально воздействует на модель.

ИДЕАЛЬНОЕ моделирование основано умозрительной связи между объектом и моделью.

В ФОРМАЛИЗОВАННОМ моделировании моделью служат системы знаков или образов, вместе с коэффициентами задаются правила их преобразования и интерпритации. Если в качестве моделей используется система знаков, то мы имеем ЗНАКОВОЕ моделирование (чертежи,графики, схемы).

Важным видом знаковой моделирования является математика ,использующая идею, что различные изучаемые явления имеют одинаковые математические описания в виде совокупности формул, уравнений, преобразование которых осуществляется на основе правил логики и математики.

В ОБРАЗНОМ моделировании модели строятся на наглядных элементах (шары, потоки жидкости). Анализ образных моделей осуществляется мысленно, поэтому они могут быть отнесены к формальному моделированию ( напр. в идеальном газе столкновение двух молекул рассматривается, как соударение шаров, причём результат соударения мыслится всеми одинаково). Широко используются в физике "мысленные эксперименты".

К НЕФОРМАЛИЗОВАННОМУ моделированию можно отнести такой анализ проблем разообразного типа, когда модель не формируется, а вместо неё используется некоторое точно не зафиксированное мысленное отображение реальной действительности, служащее основой для рассуждения и принятия решения.

Таким образом всякое рассуждение не использующее формальную модель можно считать неформальным моделированием, когда у мыслящего индивидуума имеется некоторый образ объекта исследования, который можно идентифицировать как неформальную модель-реальность. * Исследование экономических объектов в течении долгого времени проводилось только на основе таких неопределённых представлений.В настоящее время анализ неформализованных моделей остается наиболее распространенным средством экономического моделирования, а именно всякий человек, принимающий экономическое решение без использования экономических моделей вынужден руководствоваться теми или иным описанием ситуации, основанной на опыте и интуиции. Основным недостатком этого подхода является то, что решения могут быть мало эффективны или ошибочны.

(3) ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СРЕДСТВ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ.

Пространственное моделирование не используется в экономике.

Модель, изучающая явления должна иметь ту же материальную природу, что и изучаемый объект, т.е. технологические процессы должны моделироваться такими же технологическими процессами, а поведение людей в изучаемом экономическом объекте должно быть адекватно поведению людей в модели.

Объектом изучения функций какого-либо крупного предприятия могло бы быть небольшое предприятие, проведение исследования на котором обошлось бы значительно дешевле. Для анализа группы предприятий можно было бы взять одно, а затем результаты исследования перенести на остальные. ????????????

Наибольшую известность получили системы материального стимулирования в "Азот","Главмосавтотранс" и т.д.

Можно ли подобные исследования считать экспериментом на основе материальных моделей?

Сравним экономические эксперименты с экспериментами в естественных науках.

Проводя исследования моделей самолётов в аэродинамической трубе исследователь знает , какие параметры самолётов и набегающего газа влияют на результаты экспериментов, каким образом отличие этих параметров от истинных связано с отличием в интересующих его силах и t C.

В экономических экспериментах дело обстоит иначе. Значительное число производственно-технологических параметров, влияющих на производство,как то - количество основных фондов, численность работающих, номенклатура выпускаемой продукции и прочее известны при переходе от п\п к п\п.

Изменения этих величин можно учесть. Но кроме этих наблюдаемых величин , есть скрытые - это производственно-технологические факторы типа неполного использования оборудования , потерь рабочего времени, изменения качества сырья и т.д. Величины этих факторов могут с большими затратами усилий исследования экономических экспериментов установлены для одного предприятия. Но проводить такой анализ для всех п\п, на которых будут проводиться экономические эксперименты попросту невозможно. * Кроме перечисленных скрытых факторов есть самый главный - человеческий, отношения между людьми в коллективе, отношения с руководством, заказчиками,потребителями продукции.

Эти факторы очень сильно влияют на эффективность производства и изучаются социологией. Однако пока успехи в этой области недостаточны, чтобы измерить влияние этих факторов и проконтролировать их в экономических экспериментах, поэтому нельзя считать такие исследования модельными экспериментами.

АНАЛОГОВОЕ моделирование вызвало большие надежды у экономистов-исследователей в 40-е годы нашего столетия, которое основывалось на кибернетических принципах т.е. идее об аналогии процессов управления с силами различной природы (выдвинутый Винером - основателем кибернетики). Делались попытки построить такие электрические схемы (аналоговые машины), динамика физических величин в которых соответствовала бы поведению экономичеких величин. Анализируя эти схемы надеялись выявить закономерности экономических процессов. Но скоро стало ясно, что надежды не оправдались. В экономических моделях все связи реализуются более сложными механизмами вследствие присуствия социально-экономического фактора. В настоящее время кибернетическая реализация осуществляется только на основе математических моделей.

Итак, материальные модели практически не используются в экономических исследованиях.

Идеальное экономическое моделирование используеся широко и повсеместно ???? .

Долгое время теоритические исследования в экономике основывались на использовании неформальных моделей. Появление формальных моделей, а затем и математических моделей создало предпосылки для более точного анализа экономических явлений и их анализа.

(4) ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Наличие социально-экономических факторов, играющих важнейшую роль в моделировании не только препятствует проведению экономических экспериментов, но и создаёт большие трудности при построении и исследовании экономико- математических моделей . При описании закономерности принятия решений необходимо учитывать не только взаимодействие людей с природой, т.е. производсвенно - технологическую сторону, но и взаимодействие людей между собой, т.е. процессы социально- экономические.

Задача моделирования социально-экономических явлений, т.е. процессов принятия решений чрезвычайно сложна. Для построения адекватных математических моделей явлений этого типа необходимо правильно описывать цели групп людей и отдельных индивидуумов, а также факторы влияющие на эту цель, уметь формализировать и анализировать конфликты, возникающие в человеческом обществе и пути их разрешения.

В настоящее время такие модели не существуют. Для того, чтобы обойти это препятствие при использовании экономико- математических моделей, используется следующий методический приём:

- закономерности, описывающие взаимодействие людей с природой, т.е. производственно- технологическое управление рассматривается отдельно от взаимодействия людей. Социальный фактор принимается в качестве внешнего воздействия на модель. Использование хорошо разработанных принципов моделирования неживой природы даёт возможность относительно просто строить модели производственно- технологического уравнения, а наличие у них внешних воздействий не является препятствием при исследовании в экономическом случае, если решается задача выбора наиболее рационального производственного процесса. Именно при анализе таких задач достигнуты наибольшие успехи в применении экономико- математических моделей.

Всё же несмотря на кажущуюся естественность, разделение экономических систем на два уравнения: производственотехнологическое и социальное-экономического, изучение только производствено-технологического уравнения приводит к определённым осложнениям при анализе экономических проблем, поскольку в практических задачах проблемы обоих уравнений тесно связаны между собой.

В настоящее время для преодоления этих трудностей используется системный подход, нашедший своё воплощение в человеко- машинных иммитац. системах принятия решений.

(5) ОБЩИЙ ВИД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ИХ АНАЛИЗА

Процес построения математической модели для различных экономических явлений и процессов имеет некоторые общие черты.

1 этап Формулирование содержательной постановки задачи.

2 этап Выбор переменных, т.е. набора не фиксированных заранее величин, описывающих ту или иную сторону экономического явления. При этом необходимо указать какие значения можут принимать переменные и какие преобразования можно с ними проводить.

ZCZ --> пространство всех переменных

Z - переменные модели

Этап выбора переменных является чрезвычайно важным, ибо определяет сложность модели.

3 этап --> Формулировка ограничения модели.

ОГРАНИЧЕНИЯ - это уравнения или неравенства связывающие выбранные переменные в такие соотношения, которые формально определяют закономерности преобразования продуктов и ресурсов в системах или движения материалов, труда, денежных потоков в системах.

Совокупность ограничений, накладываемых на модель

В общем виде модель можно представить следующим образом: Z C G(z) C Z

G(z) - область допустимых значений переменных, определяемая ограничениями модели. 4 этап --> выбор метода исследования модели. 5 этап --> реализация моделей на основе выбранного метода. 6 этап --> проверка адекватности построений модели исследуемому процессу или явлению и корректировка модели. 7 этап --> использование модели для практических нужд.

ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ АНАЛИЗА ЭММ

(1) Пусть G(z) определяется системой уравнений или неравенств. Имеется единственное решение z=z0 C G(z)

В этом случае задача состоит в нахождении z0 и его исследовании. К этому классу моделей относятся балансовые модели н/х.

(2) Имеется множество {z} C G(z). Тогда возникает вопрос о выборе наилучшего решения из множества {z}. Для выбора такого наилучшего решения необходимо указать систему величин, характеризующих качество каждого из возможных решений,т.е. систему показателей качества fi(z). К таким показателям качества относятся прибыль, рентабельность,с/с и другие экономические показатели.

Это направление исследования получило названние ОПТИМИЗАЦИОННОГО ПОДХОДА.

Из {z} выбирается такое, для которого показатели качества будут наилучшие (max --> для прибыли, min --> для с /с).

В настоящее время в рамках этого подхода есть 2 направления:

2.1. Для оценки решения используется единый показатель качества решений, называемый целевой функцией. Это изучает мат.прогр.

В зависимости от вида системы ограничений и целевой функции различают методы:

а) линейного программирования,

б) квадратичного программирования,

в) динамич. программирования (зависит от времени),

г) параметрического программирования (зависит от параметров), д)стохастическое программирование (переменные являются случайными, вероятностными).

2.2. Многокритериальная оптимизация (векторная оптимизация).

F (f1(z),f2(z),...,fk(z)) ==>для оценки решения выбираем несколько показателей,где F - вектор, f1(z) - прибыль, f2(z) - c/c, fk(z) - т.д.

Направление развивалось с 70-х г.г. ХХ века и успешно применяется в экономических исследованиях.

(6) ИМИТАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

Достаточно адекватные модели экономических явлений могут оказаться настолько сложными, что их не удается решить с помощью оптимизационных методов. В этом случае в последние годы (с 60 - 70г.г.) и находится одно из допустимых решений zi C G(z).

Для этого решения подсчитываются показатели качества f1(zi), f2(zi) и т.д. На этом исследования одного варианнта заканчиваются. Меняются параметры системы и ннаходятся другие решения и т.д.

Просмотрев результаты большого числа вариантов можно составить общее представление о возможностях системы и выбрать наиболее подходящее управление. В таких исследованиях мы экспериментируем с различными вариантами воздействия на систему, поэтому они получили название ИМИТАЦИОННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ==> их основное достоинство состоит в том,что с их помощью можнно проанализировать достаточно сложные системы. В то же время имитация имеет серьезный недостаток, а именнно: для достаточно полного изучения возможностей системы необходимо просмотреть огромное число вариантов управления, что часто оказывается практически плохо осуществимым даже с помощью ЭВМ. Поэтому в имитационных экспериментах разумно исследовать лишь наиболее интересные варианты, для выбора которых можнно использовать оптимизационные и многокритериальные методы, примененные к упрощенным моделям. При этом исследование выходит за рамки обычного имитационного эксперимента. В нем начинают использовать совокупность различных методов и моделей, объединенных в ИМИТАЦИОННУЮ СИСТЕМУ.

Главной характерной чертой имитационной системы является постоянное участие ЛПР на всех этапах исследования, начиная от построения моделей и, кончая выбором решения.

ИМИТАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ - это средство анализа сложных проблем принятия решения на основе сочетания неформального изучения, проводимого человеком или группой лиц (ЛПР) и математического исследования на основе расчетов с помощью ЭВМ.

(7) ЭКОН.- СТАТИСТ. МОДЕЛИ (ЭКОНОМЕТРИЧ.).

Класс экономико статист. методов и моделей довольно широк. Наиболее употребляемыми являются статистические модели без управления, т.е. такие, с помощью которых изучается суть явления или объекта без воздействия на них.

Область применения этих моделей (модели экономики страны, модели расширенного производства,...). Как правило эти модели дают общие представления об объекте. Процессы в моделируемом объекте отображаются в агрегируемом виде,максимально обобщены. Но несмотря на это значимость этих моделей велика,так как они позволяют изучать явления целиком в комплексном виде и устанавливают фундаментальные свойства объектов и процессов. Методами исследования и построения этих моделей является корреляционный и регрессионный анализ, метод наименьших квадратов и прочее. Информационной основой, как правило, являются статистические выборки и временные ряды ( модели полезности, функции спроса, предложения, производственные функции).

(8) МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС

В основе модели планирования народного хозяйства лежит

понятие межотраслевого баланса. Модель межотраслевого ба-

ланса (ММБ) исторически является первой экономико-матема-

тической моделью сводного народно-хозяйственного планиро-

вания. Первые балансы н/х были разработаны в нащей стране

в 1924-25 г.г.,а основоположником балансового метода явля-

ется русский,а ныне американский ученый В.Леонтьев. Балан-

совый метод является мощным средством императивного иссле-

дования структуры народного хозяйства, позволяет судить о

пропорциях между отраслями и производствами, о соотношении

распределения продуктов на производство и непроизв. ??????

В зависимости от того, в каких единицах измеряются по-

токи продуктов существуют различные варианты баланса: в

натуральном выражении, в стоимости, в трудовых измерите-

лях. Рассмотрим стоимостной баланс, в котором потоки про-

дуктов измеряются на основе стоимости произведеннной про-

дукции в некоторых фиксированных ценах.

\потребляющие |

 -----------\ |

производящие \| 1 2 m | P | Y | X |

 ------------------------------------------------------

1 |a11 a12 ..... a1m | a1j | y1 | x1 |

_ 2 |a21 a22 ..... a2m | a2j | y2 | x2 |  --

I . | . . ..... . | . | . | . | II

 - . | . . ..... . | . | . | . |  --

. | . . ..... . | . | . | . |

m |am1 am2 ..... amm | amj | ym | xm |

 ---------------------------------------------------

Итого | ai1 ai2 .... aim | aij| yi| xi |

 ---------------------------------------------------

 --- V | V1 V2 .... Vm | Vj |

III  --------------------------------

 --- X | X1 X2 .... Xm | Xj |

 --------------------------------------

aij - количество продукции i-ой отрасли, переданное в j

в отчетном периоде.

Каждая строка I раздела показывает распределение про-

дукции отраслей между всеми отраслями экономической систе-

мы.

aij - затраты j-ой отрасли продукции i-ой отрасли в от-

четный период.

Каждый столбец I раздела показывает затраты

соответствующей отрасли.

Строка "итого" aik - суммарные затраты k-ой отрасли.

aij - суммарное количество продукции, которую i-ая от-

расль отдала экономической системе на производственные

нужды.

aij = Pi  - промежуточный продукт i-ой отрасли.

aij - суммарный промежуточный продукт экономической

системы (суммарные затраты на эк.систему)

Во II - ом разделе Yi - конечный продукт i- ой отрасли

(конечное потребление), под которой понимают личное и об-

щественной потребление не идущее нна текущие производс-

твенные нужды. Сюда включают накопление, возмещение, добы-

тие ОФ, прирост запасов, личное потребление, затраты на

здравоохранение,просвещение и прочее.

Xi - валовый продукт i - ой отрасли.

Xi = (сумма по j от aij) + Yi, (1)- основное соотноше-

ние МОБ.

III - ий раздел:

Xj - валовый продукт j-ой отрасли,

Vj - условно чистая продукция j-ой отрасли.

Vj = Xj - cумма по i от aij (2)

Vj включает АО, прибыль, з/п, налоги,....

Часто в балансах условно чистую продукцию разделяют на

АО и чистую продукцию.

Из соотношений (1) и (2) можно вывести следующее ра-

венство:

(1) просуммируем по i Xi = aij + Yi (1`)

(2) просуммируем по j Vj = Xj - aij (2`)

Следовательно Vj = Yi (3)

Т.е. суммарный продукт эк.системы.

(не явно). Но если во II разделе он разбивается на величи-

ны Yi, характеризующую структуру потребления, то в III -

ем разделе показывается в каких отраслях экономики была

произведена стоимость конечного продукта.

IV - раздел межотраслевого баланса не имеет непосредс-

твенного отношения к условиям производства и распределению

продукции.Он обычно характеризует перераспределение отно-

шений в н/х,осуществленные через функционально-кредитные

системы.

В последние годы появилось мнного новых схем МОБ, в ко-

торые включаются более 4 разделов.

Рассмотренная нами МОБ - это пока не модель, а лишь

способ представления статистической информации об экономи-

ке страны.Он строится на основе агрегирования результатов

отдельных производств. Этот МОБ называют ОТЧЕТНЫМ. Кроме

обычных МОБ разрабатываются ПЛАНОВЫЕ. Для их построения

ннеобходимо использовать межотраслевые балансовые модели.

(9) СТАТИСТИЧЕСКАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВА

Статистические многоотраслевые модели предназначены для

разработки народно-хозяйственных планов выпуска и потреб-

ления продукции и основывается на балансовых соотношениях

МОБ:

Xi = aij + Yi

j

Каждое уравнение балансовой модели выражает требование

равенства между производимым отдельным экономическим объ-

ектом количества продукции и совокупной потребностью в

нем. Обычно балансовые модели строятся на следующих пред-

положениях о свойствах экономического объекта:

1) экономическая система состоит из несколькох экономи-

ческих объектов; количество,выпускаемой каждым объектом

продукции,может быть охарактеризовано одним числом. Если

объект выпускает несколько видов продукции, то таким чис-

лом обычно служит валовый выпуск в исходных фиксированных

ценах. Если же выпуск системы - один вид продукции, то та-

ким числом наряду с валовым выпуском может быть соответс-

твующий натуральный показатель (число тонн, метров и т.д.)

2) для выпуска данного количества продукции объект дол-

жен получать строго определенное количество других

продуктов. Это свойство называется КОМПЛЕКТНОСТЬЮ ПОТРЕБ-

ЛЕНИЯ.

Оно предполагает,что технология производства остается

неизменной в течение рассматриваемого промежутка времени.

Причем в каждой отрасли имеется единственная технология

производства, не допускается замещение одного ресурса дру-

гим.

3) возрастание выпуска продукции в некоторое число раз

требует возрастания потребления объектом всех других про-

дуктов в тоже самое число раз. Это свойство ЛИМИТНОСТИ

ПОТРЕБЛЕНИЯ.

4) Выпускаемая каждым объектом продукция частично пот-

ребляется другими объектами системы в качестве конечного

продукта.

5) В балансовой модели предполагается,что цель системы

заключается в производстве некоторого количества конечного

продукта, который задается более высоким планирующим орга-

ном.

Очевидно, что сформулированные предположения лишь приб-

лизительно отражают реальную ситуацию. Например, предполо-

жение о комплектности. В зависимости от применяемой

технологии может требоваться различное количество ингради-

ентов, а в модели предполагается, что продукт производится

некоторым усредненным способом. Предположение о лимитности

также очень сильное,т.к. существуют расходы (условно-пос-

тоянные) не зависящие от количества выпускаемой продукции.

Кроме того, совершентсвование производства ???????????

Несмотря на эти урощения балансовая модель является

удобным инструментом планирования н/х благодаря простоте и

возможности расчета всех необходимых показателей плана.

ПОСТРОЕНИЕ БАЛАНСОВОЙ МОДЕЛИ

Пусть экономическая система состоит из n экономических

объектов. i,j изменяются от 1 до n.

Количество,выпускаемое каждым объектом продукции,= Xi -

валовый выпуск. Из экономического смысла переменной Xi>=0.

Yi - количество конечного продукта,выпущенного i-м объ-

ектом. Эта величина выступает в качестве планового задания

i-го объекта.

Lij >=0, Lij - это затраты j-м объектом продукции i-го

объекта на единицу выпуска. Lij - технологический коэффи-

циент.

Из предположения лимитности следует,что величина aij -

это общие затраты j-го объекта продукции i-го объекта в

отчетном периоде.

aij = LijXj (1)

В силу комплектности потребления это условие выполняет-

ся для всех i=1,n.

n

Xi = aij + Yi (2)

j=1

Подставим (1) в (2)

n

Xi = LijXj + Yi, i=1,n (3)

j=1

Xi = LijXj + Yi (3)

Xi>=0 (4)

при выбранной инреграции матрица

А = | L11 L12 ... L1n |

| L21 L22 ... L2n |

| . . ... . |

| Ln1 Ln2 ... Lnn |

как матрицы технологических коэффициентов представляют

ПРОСТУЮ БАЛАНСОВУЮ МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА.

В матричном виде система ограничений может быть записа-

на в следующем виде:

X = AX + Y (3`)

X > 0 (4`) - означает,что все элементы матрицы положи-

тельны.

В балансовой модели заданными считаются матрица А и

вектор конечного продукта - Y, а Х - искомая величина.

(10) Способы определения технологических коэффициентов .

Встает вопрос об определении технологических коэффици-

ентов. Для элементарных экономических объектов (участок

цеха) эти коэффициенты могут быть определены на основе фи-

зико-химических закономерностей технологических процессов

по выпуску продукции.Однако, в большинстве случаев, осо-

бенно,когда речь идет об отраслях, регионах и т.д. эти ко-

эффициенты могут быть рассчитаны только на основе обработ-

ки данных о реальных потоках продукции за прошлый период.

Эти данные представлены в обычных МежОтраслБалансах. Для

расчета используют 1 и 2 раздел баланса, т.е. таблицу

затрат выпуска. Из этой таблицы следует, что

aij

Lij = --- (5)

xj

Считаем,что технология производства в следующем плано-

вом периоде существенно не меняется, величина технологи-

ческих коэффициентов:

Lij\t-1 = Lij\t

t - плановый период.

(14) УЧЕТ ФАКТОРОВ ПРОИЗВОДСТВА В БАЛАНС МОДЕЛЯХ

Для функционирования экономических объектов необходимо

не только продукция других объектов этой системы,но и та-

кие факторы производства, как производственные фонды, ма-

териальные ресурсы, труд и т.д. Кроме того, экономическая

система может получать продукцию других экономических объ-

ектов (систем).

Принципиальной особенностью использования этих факторов

является их ограниченность. Именнно ограниченность факто-

ров является причиной того, что не всякий вектор конечного

продукта может быть произведен экономической системой. По-

этому для определения плана необходимо не только выявить

потоки продукции между отддельными объектами экономической

системы, но и потребность системы в факторах производства

и поставках извне.

Допустимым планом будет лишь такой план, при котором

потребности в факторах производства и продукции извне не

превышают соответствующих ограничений. Не будем в дальней-

шем различать факторы производства и продукцию извне.Будем

то и другое называть факторами.

Пусть таких факторов будет m.

Z - потребнность системы в факторах производства.

Z = (z1,z2,...,zm), zi - потребность системы в i-м фак-

торе.

Введем в рассмотренние величины Bij - потребность сис-

темы в i-м факторе производства, необходимого для выпуска

одной единицы j-й продукции. Т.о. каждый j-й объект эконо-

мической системы будет характеризоваться следующим векто-

ром затрат факторов: B(j = ( B1j,B2j,...,Bmj)

B = | B11 B12 ... B1m | Эта матрица носит название

| B21 B22 ... B2m | МАТРИЦЫ ПРЯМЫХ ЗАТРАТ ФАКТОРОВ

| . . ... . | или матрицы коэффициентов прямых

| Bm1 Bm2 ... Bmm | затрат факторов.

Объекты обладают свойствами комплектности потребления и

лимитности по отношению к факторам.

Каждый j-й столбец матрицы В состоит из коэффициентов

прямых затрат факторов для объекта j, а l-я строка описы-

вает потребность системы в l-м факторе производства.

Если Х - валовый выпуск системы,то потребность в l-м

факторе на валовый выпуск можнно сосчитать следующим обра зом:

n

Zl = Blj*Xj (1)

j=1

В матричном виде это равенство можно записать следующим

образом: Z = BX (2)

Из решения системы балансовых уравнений X = SY (3)

Подставим (3) в (2). Тогда потребность в факторах про-

изводства может быть определена:

Z = B*S*Y (4)

Т.е. имея плановое задание по выпуску конечного продук-

та и зная коэффициенты прямых затрат факторов мы можем оп-

ределить потребность системы в факторах производства для

любого вектора конечной продукции.

B* = BS

Выясним экономический смысл этой матрицы. Поступим ана-

логично выяснению эк.смысла матрицы S.

Пусть j-й объект выпускает одну единственнную конечную

продукцию,остальные конечную продукцию не выпускают.

1,k=j

Yk =

0

B* = II Bij*II , (4) тогда

Z=B* Y=B*(1 Y1+B*(2 Y2+....+ B*(j Yj + ..+B*(nYn (5)

Из равенства (5) только Yj = 1,остальные =0.

Z = B*(j 1 = B*(j

Z = B*(j

Вектора равны,когда равны их координаты.

Zi = Bij*

Это соотношение вскрывает эконномический смысл элемен-

тов матрицы В*.

Bij* - это суммарное количество i-го фактора,необходи-

мого системе,чтобы j-й объект произвел единицу конечной

продукции.

Поэтому матрицу B* = BS называют МАТРИЦЕЙ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ

ФАКТОРОВ.

Как уже отмечалось, количество каждого фактора ограни-

чено и составляет соответственно d1,d2,...dm единиц.

d = (d1,d2,...,dm) - вектор ограничений по факторам

производства.

???????????? его реализации требуется количество i-го

фактора не больше di.

Т.е. план экономической системы должен удовлетворять

ограничению : B S Y AX + Y = X

X > 0 (*)

B S YY = (*) - балансовая модель с ограничениями по факторам

производства.

В данном случае, прежде чем приступать к решению сис-

темы балансовых уравнений необходимо проверить выполни-

мость условия (6) ограничений по факторам производства.

Если оно выполняется,то решаем систему балансовых уравне-

ний.

Если не выполняется, то следует изменить плановое зада-

ние по конечной продукции.

При этом должна быть сохранена структура конечного

спроса (соотношение между компонентами конечного спроса).

Поэтому говорят,что должен быть изменен масштаб производс-

тва, чтобы соотношение (6) выполнялось.

И для измененного вектора конечной продукции считаем

систему балансовых уравнений.

(19) МЕТОД ПЕРЕЗАКАЗОВ

Планирующий орган, управляющий экономической системой,

может рассчитать план только в том случае,если ему извест-

ны:

1) все элементы матрицы А - технологических коэффициен-

тов,

2) размеры матрицы А не слишком велики и на ЭВМ за при-

емлемое время можно решить систему балансовых уравнений с

необходимой точностью. Однако, очень часто ни то, ни дру-

гое условие не выполняется. Вместе с тем люди, управляющие

конкретным экономическим объектом, обычно знают и могут

ответить на вопрос, что должно быть поставлено их объекту

для того, чтобы этот объект мог выполнить то или иное за-

дание. Как говорят, информация в экономической системе

рассредотачивается между отдельными экономическими объек-

тами. Единственная возможность построения плана выпуска

продукции экономической системы заключается в организации

специальнной процедуры согласования планов отдельных эко-

номических объектов между собой и с планирующим органом.

Важным требованием к процедуре такого рода является испол-

нение на каждом этапе процедуры только доступной объекту

информации (о собственных технологических коэффициентах и

плановом задании). Рассмотрим одну из таких процедур, на-

зываемой процедурой перезаказа.

1. Процедура опирается на те же представления о свойс-

твах экономических объектов, что и БМ.

2. Процедура состоит из ряда однотипных шагов обмена

информацией между планирующим органом и экономическими

объектами.

3. На каждом шаге, используя ннакопленную информацию,

планирующий орган устанавливает задание каждому экономи-

ческому объекту, а объект в свою очередь сообщает,какое

количество продукции каждого объекта ему требуется для вы-

полнения установленного задания.

4. Собранные планирующим органом заказы экономических

объектов служат для формирования задания следующего шага.

В качестве задания для некоторого объекта на текущем

шаге принимается сумма всех заказов на продукцию этого

объекта, полученная планирующим органом на предыдущем шаге

и ? конечную продукцию этого объекта.

ЦЕНТР

ЭК.ОБЪЕКТЫ Рk

A0(k = (L1k,L2k,...,Lnk)

1. Y0 = (Y10,Y20,...Yk0,.,Yn0)

-->Yk0

2.Собирает заявки и группирует

их по отраслям и подсчитыва-

ет продукцию каждого объекта

заявка

n

Lkj*Yj0 - потр-ть в прод.

j=1 k-го объекта

n

Yk(1 = Lkj*Yj + Yk0

--> Yk1

j=1

3.Сбор и группировка заявок,

рассчитавыется потребность

в продукции каждого объекта

заявка

n

Lkj*Yj1

j=1

n

Yk(2 = Lkj*Yj1 +Yk0

j=1

Y(2 = A Y(1 +Y0

Y(1 = A Y0 + Y0

Y(2 = A(A Y0 + Y0) + Y0 = A2Y0 + AY0 + Y0

Задание l-го шага Y(l = A(lY0 + Al-1Y0 + ...+ AY0 + Y0 (1)

ЛЕММА:

Если матрица А продуктивна, то lim Ae = 0

l->

ТЕОРЕМА: Y0

Еслм А продуктивна, то lim Ye = ----

l-> E-A

Если А продуктивная матрица,то при l-> к бесконечности

вектор заданий Y(e стремится к решению системы балансовых

уравнений.

Эта теорема показывает,что после достаточно большого

числа обмена информации данная процедура позволяет сос-

тавлять план для всей экономической системы без того, что-

бы планирующий орган составлял и решал системы балансовых

уравнений.

Док-во: Умножим равенство (1) на (Е-А)

(E-A)Y(l = (E-A)(E+A+A2+...+Al)Y0 =

=(E+A+A2+...+Al-A-A2-...-Al-Al+1)Y0 =

=(E-Al+1)Y0= Y0-Al+1Y0 1

(E-A)Y(l=Y0-Al+1Y0 (2) |* ---

Y0 Al+1 E-A

Y(l = ---- - ---- *Y0 (3)

E-A E-A

Определим предел обеих частей равенства (3) при l->

lim Y(l = lim (E-A)-1Y0 -lim (E-A)-1 Al-1 Y0 =(E-A)-1Y0

решаем систему балансовых уравнений.

Y(l - отличается от решения системы балансовых уравне-

ний на i = (E-A)-1 Al+1 Y0 (4)

 - ошибка вычислений.

Если необходимо найти приближенное решение системы ба-

лансовых уравнений,то можно воспользоваться формулой (1).

На каждом шаге будет получаться ошибка вычислений, которую

можно подсчитать по формуле (4). Задав точность вычислений

е вия e 0) Y0

1) AY0 + Y0 1 если >E,то

2) A2Y0 + AY0 + Y0 2 и т.д. пока  не будет

(20) ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИНАМИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ДП) представляет собой

математический аппарат, разработанный с целью повышения

эффективности вычислений при решении задач. Процесс приня-

тия решения может быть разбит на отдельные этапы (шаги).

Такие процессы называются многоэтапными или многошаговы-

ми.

ДП относится к классу оптимизационных методов. Как раз-

дел математического программирования динамическое програм-

мирование начало развиваться в 50-х г.г. нашего столетия

благодаря работам американского ученого Беллиана и его

сотрудников.

Впервые этим методом решались задачи управления запаса-

ми. Затем класс задач существенно расширился - задачи

распределения капитальных вложений, задачи перспективного

календарного планирования.

Как практический метод ДП стал возможен лишь при ис-

пользовании вычислительной техники.

Происхождение названия ДП вероятно связано с использо-

ванием метода в задачах принятия решений для процессов,

зависящих от времени.Однако, методы ДП успешно могут быть

применены и для других процессов, не зависящих от времени,

в том случае если процесс принятия решения можно разбить

на отдельные этапы (шаги). Поэтому применяетя название

многоэтапное программирование (многошаговое).

Фундаментальным принципом,положенным в основу теории ДП

является принцип оптимизации Белмана, который определяет

порядок поэтапного решения, допускающий декомпозицию зада-

чи с помощью рекурентных вычислительных процедур.

В задачах ДП рассматриваются управляемые процессы или

системы.

Процесс называется управляемым, если можно влиять на

ход его развития.

Управлением называется совокупность решений, принимае-

мых на каждом шаге,с целью влияния нна ход процесса.

В экономических системах управление чаще всего связано

с распределением и перераспределением различных ресурсов.

2.ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДП

Пример:

Пусть имеется сумма средств К0, которые нужно распреде-

лить между двумя отраслями с/х: животноводством и растени-

еводством. Известно,что сумма средств в хозяйстве,вклады-

ваемая в животноводство приносит в течение года доход

f(x), при этом к концу года остается остаток L(x),0= Cумма средств Y, вкладываемая в растениеводство, прино-

сит в течение года доход Ф(У) и к концу года остаток

средств В(у), 0= Требуется сделать распределение средств на n лет, так

чтобы суммарный доход от вложения был максимален.

k0 x11y1 L(x1)+B(y1) Lx2+By2

n=5 o------/-----------/---------/---------/----------/

f(x1)+Ф(y1) x21y2

f(x2)+Ф(y2)

X (X1,X2,X3,X4,X5), Xi >=0

Y (Y1,Y2,Y3,Y4,Y5), Yi >=0

X1 + Y1 X2 + Y2 X3 + Y3 (1) X4 + Y4 X5 + Y5 Xi >=0,Yi >=0 (2)

Z - доход 5

Z = f(Xi) + Ф(Yi) ----> max (3)

i=1

(1-3) -Принятие решений в задачах ДП - это принятие

решений с учетом будущего и с учетом состояния, к которому

приходит система в начале каждого шага планирования.

Пусть имеем управляемую систему и она относится в неко-

тором начальном состоянии S0, принадлежащем некоторому

можеству некоторых конечных состояний S`0: S0 C S`0.

Нужно привести систему к некоторому конечному состоянию

Sk C S`k

Перевод системы из одного состояния в другое с помощью

управления U = {u1u2...uk} - множество управлений.

С выбором каждого конкретного управления связан числен-

ный критерий W(u).

Тогда задачу можно сформулировать следующим образом:

из множества возможных управлений выбрать такое управле-

ние, которое позволяло бы перевести систему из состояния

S0 в состояние Sk, так,чтобы критерий W(u) принимал опти-

мальное значение (max или min).

ДАДИМ ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ИНТЕРПРЕТАЦИЮ ЗАДАЧИ ДП

Пусть система зависит от двух параметров X и Y,тогда

начальное состояние системы можно представить в плоскости

S0 (X0,y0)

S0 - множество точек.

Sкон - конечное Sk(xk,yk)

Перевод системы из одного состояния в другое - траекто-

рия.

YI

I W(u2) Sk

I Sk

I

I

I S0

I S0 W(u1)

I_____________________X

Каждому управлению соответствует какой-то критерий.

Т.о. из множества траекторий нужно выбрать такую, чтобы

W(u) принимал оптимальное значенние.

Состояние системы является одним из важнейших понятий

динамического программирования.Она обеспечивает связь меж-

ду последовательными этапами принятия решения, позволяющую

получать допустимое решение задачи в целом, как результат

оптимизации на каждом этапе в отдельности и дает возмож-

ность принимать оптимальное решение на последующих этапах.

Определение состояния обычно является наиболее сложным при

решении задачи ДП.

Стандартного способа выбора состояния не существует.Од-

нако, разрешить эту проблему позволяют ответы на следующие

вопросы:

1) в чем проявляется связь между этапами,

2) какая информация необходима для принятия допустимого

решения на исходном этапе без проверки допустимости реше-

ний, принятых на предшествующих этапах.

(21) ПРИНЦИП ПОЭТАПНОГО

ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Метод ДП состоит в том, что оптимальное уравнение стро-

ится постепенно шаг за шагом. На каждом шаге оптимизирует-

ся управление только этого шага, но с учетом последс-

твий,т.к. управление процессом оптимизирующее целевую

функцию только данного шага может привести к неопределен-

ному эффекту всего процесса.

Оптимизация этого многошагового процесса осуществляется

на основе принципа ОПТИМАЛЬНОСТИ БЕЛМАНА, состоящего в

следующем:

Оптимизирующее уравнение обладает тем свойством,что ка-

кого бы не было начальное состояние на любом шаге и управ-

ление на этом шаге последующее управление должно выбирать-

ся оптимальным относительно состояния, к которому придет

система в конце данного шага. Другими словами, планируя

многошаговый процесс, необходимо выбирать управление на

каждом шаге с учетом всех его будущих последствий на еще

предстоящих шагах.

Использование этого принципа гарантирует,что управле-

ние, выбранное на любом шаге, будет не локально лучше,т.е.

лучшими только для данного шага, а лучше с точки зрения

процесса в целом. Управление на некотором шаге выбирается

так, чтобы была максимальна сумма выигрышей на всех остав-

шихся до конца шагах плюс данный шаг. Однако,среди всех

шагов есть последний шаг, который может планироваться без

учета будущего.

Спланировав оптимальным образом последний шаг, можно

пристроить к нему предпоследний и выбрать решение так,

чтобы результат этих двух шагов приносил максимальный эф-

фект.

Поэтому процесс планирования в задачах ДП удобно разво-

рачивать от коннца к началу (метод обратной прогонки).

Чтобы спланнировать некоторый шаг необходимо знать сос-

тояние системы на начало этого шага и выбирать управление

в зависимости от состояния. Поэтому управление (решение),

выбираемое на некотором шаге i называется условно-опти-

мальным,т.к. выбирается из условия,что предшествующий шаг

кончился так-то и так-то.

Если состояние системы на начало некоторого шага неиз-

вестно, делают предположение о возможных состояниях систе-

мы на начало этого шага.

С каждой задачей ДП связано рекурентное соотношение,

позволяющее вычислить значение критерия оптимальности в

зависимости от шага планирования и состояия системы.

S1(1 S2(1

So-----/----------/--------Sk

S1 S2(2

W(Sn-1) - это оптимальное значение критерия на n-ом ша-

ге, если мы принимаем управление Un

W3(S2(1) = max f3(ui(S2(1))

i

W3(S2(2) = max f3(ui(S2(2)) переходим к следующему шагу

i

W2(S1(1) = max f2(ui(S1(1)) + W3(S2))

i

W2(S1(2) = max f2(ui(S1(2)) + W3(S2))

i

переходим к следующему шагу.

(24) ЗАДАЧА О ДИЛИЖАНСАХ или задача нахождения кратчайшего

расстояния на ацикличной сети.

Путешественнику нужно проехать из города 1 в город 10

кратчайшим путем. Сеть дорог известна. Между городами

только одна дорога.

1____2______________________3

I I I

I I I

4____5_______6______________7

I I I S

I I I

8____9______10

i - пункт отправления,

j - пункт прибытия,

Сij - расстояние между пунктами = Sn

Uk(i) - управление,принятое на k-ом шаге, если мы нахо-

димся в городе i,

Wk(i) - оптимальное расстояние между городами на k-м

шаге.

W4(7)=10, W4(8)=9, W4(9)=11

\ j

i \ 7 8 9 U3(i) W3(i)

 -----------------------------------------

5 | 20+10 | 18+9 | 22+11 | 8 | 27 |

6 | 15+10 | 13+9 | 16+11 | 8 | 22 |

 -----------------------------------------

\ j

i \ 5 6 U2(i) W2(i)

 ---------------------------------

2 | 13+27 | 15+22 | 6 | 37 |

3 | 10+27 | 12+22 | 6 | 34 |

4 | 14+27 | 12+22 | 6 | 34 |

 ---------------------------------

\ j

i \ 2 3 4 U1 W1

 -----------------------------------

1 | 5+37 | 6+34 | 3+34 | 4 | 37 |

 -----------------------------------

Wk(i) = min ( Cij + Wk+1(j))

j

На последнем этапе нет функции Wk+1.

(22) Как пример, ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАПИТАЛЬНЫХ ВЛОЖЕНИЙ.

Планируется распределение начальной суммы средств Ко

между n п/п. Предполагается, что выделенные п/п К средства

в размере Xk приносит доход f(Xk). Будем считать,что:

1) доход, полученный от вложения средств в п/п К, не

зависит от вложения средств в другие предприятия.

2) доход, полученный от разных предприятий выражается в

одинаковых единицах.

3) общий доход равен сумме доходов, полученных от

распределения всех средств по всем предприятиям.

Определить какое количество средств нужно выделить каж-

дому предприятию, чтобы суммарный доход был максимален.

Считаем, что К предприятие может получить не более чем

Lk средств.

Математическая постановка задачи:

программа размер средств

X = (X1,X2,...,Xk,...,Xn) - вектор распределения

средств между предприятиями.

Xk >=0 0= Xk= n

Z = fK(Xk)--->max (3)

k=1

(1)-(3) - модель задачи о распределении капитальных

вложений.

Сформулируем задачу в терминах ДП.

Внутреннее свойство процесса распределения средств меж-

ду предприятиями позволяет рассматривать его, как n-шаго-

вый процесс.

За номер k-го шага примем N предприятия, которому выде-

ляются средства.

Т.о. 1 этап - выделение этапов.

2. Необходимо определить, в чем состоит принятие

решений или управление этой системой. Необходимо опреде-

лить величины Хk, выделяемые каждому предприятию.

Хk - управляемые переменные.

3. Определяем состояние системы.

Состояние системы определяется остатком средств на на-

чало этапа планирования Kk

Xk= Управленние состояия связывает управляемые переменные в

балансовые соотношения

Kk + Xk = Kk-1

Wk(Kk-1) = max( fk(Xk) + Wk+1(Kk))

Xk= Wk(Kk-1) - максимальная прибыль, которую мы получаем на

k-м этапе, если остаток средств Kk-1

Kk = Kk-1 -Xk, тогда

Wk(Kk-1) = max (fk(Xk) + Wk+1(Kk-1 -Xk))

Xk=  - рекурентное соотношение для задачи распределения ка-

питальнных вложений.

Рассмотрим вычислительную схему на конкретном примере.

Пусть Ко = 200 млн руб n = 4

Средств выделяется в размерах, кратных 40 млн руб

Функция прибыли fk(Xk)

Данный процесс распределения средств является 4-х шаговым.

\ f

X \ f1(X) f2(X) f3(X) f4(X)

 ----------------------------

0 | 0 | 0 | 0 | 0 |

40 | 8 | 6 | 3 | 4 |

80 | 10 | 9 | 4 | 6 |

120 | 11 | 11 | 7 | 8 |

160 | 12 | 13 | 11 | 13 |

200 | 18 | 15 | 18 | 16 |

 -------------------------------

Решим задачу с построением дерева состояния.

k1 0 k2 k3 k4

200 40 200 200

0 80 200

40 160 0 160 160 160

200 80 40 120 0

120 120 120 120 120 80

80

160 80 160 80 80

120

200 40 200 40 40

160

0 0 0

W4(200) = 16 W4(80) = 6

W4(160) = 13 W4(40) = 4

W4(120) = 8 W4(0) = 0

X3 - управляющая переменная К2 - состояние системы

 ------------------------------------------------------

\X3

K2 \ 200 160 120 80 40 0 U(K2) W3(K2)

 ------------------------------------------------------

200 | 18+0 | 11+4 | 7+6 | 4+8 | 3+13 | 0+16 | 200 | 18

160 |  - | 11+0 | 7+4 | 4+6 | 3+8 | 0+13 | 0 | 13

120 |  - |  - | 7+0 | 4+4 | 3+6 | 0+8 | 40 | 9

80 |  - |  - |  - | 4+0 | 3+4 | 0+6 | 40 | 7

40 |  - |  - |  - |  - | 3+0 | 0+4 | 0 | 4

0 |  - |  - |  - |  - |  - | 0 | 0 | 0

 -------------------------------------------------------

 --------------------------------------------------------

\X2

K1\ 200 160 120 80 40 0 U(K1) W2(K1)

 --------------------------------------------------------

200 | 15+0 | 13+4 | 11+7 | 9+9 | 6+13 | 0+18 | 40 | 19

160 |  - | 13+0 | 11+4 | 9+7 | 6+9 | 0+13 | 80 | 16

120 |  - |  - | 11+0 | 9+4 | 6+7 | 0+9 |80V40 | 13

80 |  - |  - |  - | 9+0 | 6+4 | 0+7 | 40 | 10

40 |  - |  - |  - |  - | 6+0 | 0+4 | 40 | 6

0 |  - |  - |  - |  - |  - | 0 | 0 | 0

 --------------------------------------------------------

 --------------------------------------------------------

\X1

Ko\ 200 160 120 80 40 0 U(Ko) W1(Ko)

 --------------------------------------------------------

200 | 0+18 | 12+6 | 11+10 | 10+13| 8+16| 0+19| 40 | 24

 ---------------------------------------------------------

Zопт = 24

X = (40,80,40,40)

Если на дереве состояний на каждой дуге поставить соот ветствующее ей значение функционала,

мы придем к сетевой постановке задачи ДП, которая сводится к нахождению min кратчайшие или

max критические пути на сети. В сетевой постановке задача решается,как задача о дилижансах.

Рассмотрим табличный метод рашения задачи,основанный на использовании рекурентного соотношения.

 -------------------------------------------------------------------

состояние f4(X4) f3(X3) K3= f2(X2) K2= f1(X1)

системы X4 W4 X3 =K2-X3 W3 X2 =K1-X2 W2 X1 K1 W1

------------------------------------------------------------------------

200 200 16 16 200 18 0 18+0 200 15 0 15+0 200 18 0 18+0

160 13 160 11 40 11+4 160 13 40 13+4 160 12 40 12+6

120 8 120 7 80 7+6 120 11 80 11+7 120 11 80 11+10

80 6 80 4 120 4+8 80 9 120 9+9 80 10 120 10+13

40 4 40 3 160 3+13 40 6 160 6+13 40 8 160 8+16

0 0 0 0 200 0+16 0 0 200 0+18 0 0 200 0+19

--------------------------------------------------------------------------

160 160 13 13 160 11 0 11+0 160 13 0 13+0

120 8 120 7 40 7+4 120 11 40 11+4

80 6 80 4 80 4+6 80 9 80 9+7

40 4 40 3 120 3+8 40 6 120 9+0

0 0 0 0 160 0+13 0 0 160 0+13

----------------------------------------------------------

120 120 8 8 120 7 0 7+0 120 11 0 11+0

80 6 80 4 40 4+4 80 9 40 9+4

40 4 40 3 80 3+6 40 6 80 6+7

0 0 0 0 120 0+8 0 0 120 0+9

 ----------------------------------------------------------

80 80 6 6 80 4 0 0+4 80 9 0 9+0

40 4 40 3 40 3+4 40 6 40 6+4

0 0 0 0 80 0+6 0 0 80 0+7

------------------------------------------------------------

40 40 4 4 40 3 0 3+0 40 6 0 6+0

0 0 0 0 40 0+4 0 0 40 0+4

------------------------------------------------------------

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-------------------------------------------------------------

W4(K3) = max (f4(X4))

X4

W3(K2) = max(f3(X3)+W4(K3))=max(f3(X3)+W4(X2-X3), где

K3 = X2 - X3

W2(K1) = max(f2(X2) + W3(K1-X2))

*--------*--------*---------*---------*

200

(30) ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

1.ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ.

Под производством в современной экономике понимается

деятельность по использованию факторов производства(????,

денег,трудовых ресурсов) с целью достижения наилучшего

результата.

Если ресурсы известны,то max-ся результат.Если известен

результат,то min-ся затраты ресурсов.

Функционирование хозяйства может носить целенаправленный

характер.Для целенаправленных процессов характерно,что каж-

дый из них можно представить как систему с определенным

входом и выходом, преобразуя исходные материальные блага

или данные в конечный результат процесса.Для процесса про-

изводства продукции гл.хоз.процесса в ??? системе выходом

служит обычно ТП (услуги),а входы определяются поставщиками

сырья,материалов, затратами труда и др.ресурсов.

___________

X I I Y X(x1,x2,...xn) - вектор ресурсов

------>I f I------> Y(y1,y2,...yn) - вектор продукции

I I f - усредненная технология, по

 ----------- которой идет преобразование X в Y.

Соответствие, описывающее закономерности выпуска продук-

ции в зависимости от используемых ресурсов, принято назы-

вать ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИЕЙ (ПФ).

ПФ - экономическая модель выражения зависимости резуль-

татов производственно-хозяйственной деятельности от

обусловивших эти результаты показателей ресурсов. В слож-

ных условиях экономической деятельности результат процесса

производства определяется действием огромного количества

факторов: технических,экономических,социальных. Попытаться

в рамках ПФ учесть влияние всех факторов задача невыполни-

мая и бессмысленная.Тем более,что некоторые из этих факто-

ров не могут быть измерены колчественно. Поэтому ПФ не-

избежно включает в себя лишь некоторые факторы.Причем

исследователь стремится к тому,чтобы отобрать главные

факторы,оказывающие решающее воздействие на изучаемый

показатель. В свою очередь, факторы,включенные в ПФ, мо-

гут быть неоднородны по своей структуре. А их воздейс-

твие на результат производства не определяется однознач-

но.

Например, ни на одном производстве нельзя абсолютно

точно предсказать, как изменяется V прод. при определенном

увеличении отработанных человеко-часов.Хотя можно утверж-

дать,что V продукции возрастает и ориентировочно подсчи-

тать. Из-за наличия неучтенных факторов и неоднозначности

действия учтенных ПФ является функцией лишь в статистичес-

ком смысле. Описывающая его математическая зависимость

только в общем и среднем в массе наблюдений.

ПФ является экономической статистической моделью про-

цесса производства продукции в данной эк.системе и выража-

ет устойчивую закономерность, количественную зависимость

между показателями реурса и выпуска.

В общем виде уравнение ПФ можно записать:

F(X,Y,A)=0 (1)

X - (x1,x2,...,xn) - вектор ресурсов

Y - (y1,y2,...,yn) - вектор продукции

A - (a1,a2,...,an) - вектор параметров ПФ

Соотношеие (1) может быть векторным,т.е. состоять из

нескольких равентв.

ПФ может быть задана не только аналитически,но и в виде

таблицы.Помимо общего представления,ПФ в виде (1) чаще ис-

пользуются следующие частные случаи:

1. ПФ выпуска Y=f(X,A) (2)

рассматривается 1 вид продукции.

2. ПФ затрат X=h(Y,A) (3)

3. Для отображения производственных процессов с нес-

колькими продуктами и ресурсами используется понятие про-

изводственного способа или технологии производства.

В том случае,когда вектор X является многокомпонентным

между функцией выпуска и затрат возникают принципиальные

различия. А именно: в функции выпуска (2) возможны различ-

ные сочетания количеств производственнных ресурсов приво-

дящих к одному V продукции функции затрат (3), заданние

выпуска полностью определяет затраты ресурсов, поэтому

функция затрат используется в том случае,когда в описывае-

мой эк. системе отсутствует возможность замещения одного

ресурса другим. Функция выпуска используется тогда, когда

такая замена допустима.

С понятием ПФ тесно связано понятие МНОЖЕСТВО ПРОИЗ-

ВОДСТВЕННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ - это множество X,Y E G(A),

где G(A) - некоторое множество в пространстве ресурсов и

продукции, зависит от параметров ПФ.

Пусть ПФ задана как Y=X№. Параметр № подбирается для

каждого процесса отдельно. ПФ подразумевает использование

эффективной технологии,такой,что если мы используем коли-

чество ресурсов X,то выпуск продукции будет определяться

формулой Y=X№

I 0 I ных возможностей.

I Y=X№ При опред.количестве исполь-

I зуемых ресурсов мы можем полу-

I G(№) чить и меньшее количество про-

I________________ дукции,в том случае,если производство

ведется ????????????.

(33) ЗАКОН УБЫВАЮЩЕЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ

(закон падающей эффективности)

По мере возрастания одного ресурса при постоянных ко-

личествах других ресурсов предельная эффективность (про-

изводительность) этого ресурса не возрастает.Т.е.

возрастание использования одного фактора при фиксирован-

ных остальных приводит к снижению отдачи от его примене-

ния.

Математически это свойство для дважды дифференцируе-

мой производной функции можно записать следующим образом:

I f I ¤f

 -- I----I xiI  xiI ¤xi

Дуйствительно,возрастание использования какого-либо

ресурса может привести к повышению выпуска продукции,но

темп прироста продукции падает,т.к.в этом случае каждая

следующая единица ресурса,количество которого возрастает

должна соединиться со все меньшими,приходящими на нее

количествами других ресурсов.Эффективность использован-

нияресурсов падает.

Закон убывающей предельной производительности не был

доказан строго теоретически. Он был выведен эксперимен-

тальнным путем сначала в с/х,а потом в других отраслях.

Он отражает реально наблюдаемый факт определенных про-

порций между различными функциями производства,сложив-

шихся при производстве продукции. Нарушения их,выражаю-

щиеся в чрезмерном росте применения одного из ресурсов

можно довольно быстро исчерпать границы взаимозаменяе-

мости ресурсов и в конечном счете приведет к неэффектив-

ному его использованию.

Дадим графическую иллюстрацию связи изменения сово-

купного продукта и изменения предельной и средней

эффективности в зависимости от затрат ресурса.

Пусть имеем произвольную функцию

Y = f(x1,x2,...,xn)

xi - переменный ресурс

x1,x2,..,xi-1,.,xi+1,..,xn -постоянные ресурсы

Тогда изменение совокупного продукта в зависимости от

затрат i-го ресурса выразится кривой затрат выпуска

кривая затрат выпуска

yI yI y y y

a3I I  -; --; tg?;  -- -

a2I I x x x

a1I I определяет рост

I I cредней эфф-сти

I_______________ xi I___________х

0 xi-1 xi xi+1   y

 -- - предельная

xi эффект-сть

Эта величина определяет угол наклона касательной к

точке   y

 --- = tg ?

xi

На отрезке (0,xi-1) при росте заданного ресурса идет

рост совокупного продукта,идет рост средней и предельной

эффективности.Угол соответствует предельной эффективнос-

ти, средняя эфф-сть => пред.эфф-сть > средняя эфф-сть

МР I Рассм.отрезок (xi-1,xi).

АР I Касательная в точке С совпадает

I C с лучом ОС =>

I Пред.и сред.производительность 

I в точке С совпадают.

I___________________xi

На отрезке (xi,xi+1),начиная с точки С tg? отрезке.След-но,предельная производительность на 3-м от-

резке уменьшается.

Найдем предельную производительность в точке В.Каса-

тельная,параллельна оси xi.След-но ?=0,tg?=0.Средняя

производительность тоже уменьшается,но остается выше

предельной.

Если на 1-й стадии совокупный продукт вырастает мед-

леннее,чем растет потребление переменного фактора xi,то

на 2-й стадии совокупный доход падает быстрее,чем ис-

пользование этого фактора.На 3-й стадии пред.эффект-сть средней,в рез-те чего совокупный продукт растет медлен-

нее затрат переменного фактора.

В точке В совокупный продукт достигает максимума или

заданной технологии,при этом пред.эф-сть = 0.После точки

В пред.эф-сть(МР) становится отрицательной.След-но ис-

пользование переменного фактора не приводит к росту про-

дукта и становится не целесообразным,падает за пределы

экономической области.

Т.о.ресурсы целесообразно использовать в производстве

пока пред.эффективность их использования положительна.

Для возрастания эффективности использования ресурса

следует перейти к новой технологии,которая включает

большее количество фуннкциональных факторов,чем в расс-

мотренной технологии.

Y IB1 B1>B

B I II xi4>xi3

I Показывает влияние НТП на

I I рез-ты произв-хоз.деятель-

I ности.

I

_________________

xi3 xi4

СЛЕДСТВИЕ закона убывающей предельной производитель-

ности:

Спрос на ресурсы является производным от спроса на

продукцию.

Если обозначить предельную продуктивность MRP,а пре-

дельные издержки MRC, то правило использования ресурсов

можно выразить следующим образом: MRP =MRC, т.е.для то-

го, чтобы максимизировать прибыль,как => max-ии продукта

каждый производитель,фирма должны использовать дополни-

тельные единицы любого ресурса до тех пор,пока каждая

единица дает прирост совокупного дохода.

(34). До сих пор мы рассматривали изменение объема про-

дукции,предполагая изменение единственного ресурса xi.

Предположим,что осуществляется пропорциональное изме-

нение затрат всех ресурсов.

X(x1,x2,...,xn), то будем использовать

tX=(tx1,tx2,...,txn).При этом говорят,что в t раз воз-

растает масштаб произвоства. Какова будет отдача от рас-

ширения масштабов пр-ва.Т.е. как изменится при этом вы-

пуск продукции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функция f(x) называется однородной

степени № ,если для любого X и любого скаляра t выполня-

ется условие f(tx)=t№f(x), (10)

№ -показатель однородности.

ОДНОРОДНАЯ произвольная функция характеризует отдачу

от расширения масштабов производства.При этом,если №=1 -

это растет отдача (в t раз возрастают затраты ресурсов и

в t раз возрастает выпуск).

Если № > 1 - возрастающая отдача

№ изводства.

Естественно считать,что № > 0, иначе использование

ресурсов нецелесообразно.

Надо отметить,что 4-ое свойство выполняется не для

всех произв.функций,применяемых в экономике.Для характе-

ристики последствий изменения масштабов производства

вводят показатель Е(х),называемый ЭЛАСТИЧНОСТЬЮ ПРОИЗ-

ВОДСТВА,который определяется следующим образом:

f(tx)t

Е(х) = lim ------- (11)

t 1 tf(tx)

E(x) характеризует процентное изменение выпуска про-

дукции при изменении масштабов производства на 1% при

данной структуре ресурсов.

Легко проверить,что для однородной функции Е(х)= №

Рассмотрим однородную функцию,удовлетворяющую условию

(10) и подставим (10) в (11)

№t№-1f(x)*t

Е(х)=lim ----------- = №

t 1 t№ f(x)

Можно установить связь между эастичностью производс-

тва и эластичностью выпуска по затратам ресурсов.

f(tx) f(txi) (txi)

 ------- = сумма i=(1,n) от ------- * ------- =

t (txi) t

f(txi)

= ------- * xi (12)

(txi)

Подставим (12) в (11)

f(txi)

Е(х)=lim сумма ------- * xi * t / f(tx) =

t 1 (txi)

f(txi) xi

= cумма i=(1,n) от{------- * ---}, если выражение в {}

xi f(x)

обознначить Еi(xi),тогда последнее выражение можно запи-

сать

Е(х)= сумма Еi(xi)

Это справедливо для любой произв.функции.

Эластичность производства = эластичность выпуска по

затратам ресурсов.

В случае одного ресурса эластичность производства =

= элпстичности выпуска по затратам этого ресурса.

(35) ПОНЯТИЕ О ЗАМЕЩЕНИИ РЕСУРСА

Перед каждым руководителем проблема выбора как именно произвести ту или иную продукцию, какие ресурсы и в каком количестве использовать. Последнее зависит не только от технологии, но и от стоимости ресурсов. Т.о. эта проблема имеет два аспекта: технический и экономический.

Остановимся на первом аспекте. Предположим, что произвольный процесс описывается произвольной функцией с 2-мя ф-ми пр-ва F1 и F2, например: труд и капитал, остальные ф-ты фиксируем.

Предположим также, что V пр-ва const=y0.

При заданной технологии один и тот же выпуск продукции может быть обеспечен различным сочетанием этих факторов, т.е. либо с большим привлечением капитала, либо с большим привлечением труда, т.е. эти факторы являются взаимозаменяемыми.

(36) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Совокупность таких сочетаний ресурсов

(точек в пространстве ресурсов) при которой может быть

произведено определенное количество продукта y0 называ-

ется ИЗОКВАНТОЙ и обозначается

Q(y0)=множество{X|таких,что|F(X)=y0}

Множество сочетаний xi, таких что f(X)= y0

Можно дать график определения изокванты:

х2(капитал)

I

F2 I

I

b2 I B

I

b1 I A

I C Y0

I_______________________ X1(труд)

а2 а1 а3 F1

Если соединить точки плоскости ресурсов,обеспечивающие

один и тот же выпуск продуктов,то получим линию называе-

мую изоквантой.

В точке В выпуск продукции y0 обеспечивается за счет

большого привлечения капитала,а в точке С - за счет

большого привлечения труда.

Если изокванта непрерывна,то число возможных сочета-

ний ресурсов бесконечно, что обеспечивает чрезвычайную

гибкость принимаемых фирмой решений.

СВОЙСТВА ИЗОКВАНТ

1) Для ПФ, удовлетворяющих свойству 1 изокванты не

пересекаются с осями координат.

Если предположить,что изокванта пересекается с осями,

то возможен выпуск при отсутствии какого-либо ресурса.

2) Изокванты не пересекаются друг с другом.

Предположим противное.

Тогда одно и тоже сочетание

х2 ресурсов требуется и для

I большого и для меньшего

I B выпуска.

I Y1 В этом случае технологии,

I C обеспечивающие меньший выпуск

I__________Y2_____ X1 ???????

Проблема выбора опытного сочетания ресурсов может

быть рассмотрена лишь в пределах так называемой зоны

технического замещения,т.е.в пределах кривых ВС,где

изокванты не пересекаются.

3) Изокванты имеют отрицательный наклон,т.е. tg угла

наклона касательной к любой точке изокванты tg Предположим,что изокванта имеет положительный наклон.

х2 A(x1,X1)

I B(x2,X2)

X2 I B x1 I X1 I ти продукт с меньшими затра-

I тами ресурсов.

X1 I A

I Изокванты,соответствующие

I__________________ рациональной технологии имеют

x1 x2 отрицательный наклон.

4) Большему выпуску продукции соответствует изокванта

более удаленная от начала координат.

Х2¦

¦

¦

¦ Y1 ¦ Y3

¦ Y2

¦ Y1

¦ X1

L-----------------------

Определение: Совокупность изоквант = карта изоквант

Как записать уравнение изоквант?

Если Y=f(X1,X2), то для того чтобы получить уравнение

изоквант необходимо фиксировать выпуск продукции Y=Y0 и

выразить из этого уравнения переменную X2 в зависимости от

X1

X2(X1)=f(X1,Y0)

Пример. Y=2X1+4X2 не удолетворяет 1 свойству => могут

изоквант пересечётся с осями координат

Y=Y0

Y0=2X1+4X2 -> X2 = (Y0-2X1):4 = Y0/4 -X1/2

X2 ^

¦ карта изоквант

3¦ Y0=12 Y0: 4,8,12

¦ Y0=8

2¦

¦ Y0=4

1¦

¦

L--------------------------> X1

0.5

ПРЕДЕЛЬНАЯ НОРМА ЗАМЕЩЕНИЯ

Для производных функций допускающих замещение ресурсов

вводится понятие предельной нормы замещения

X2 ¦ f(X1 ,X2 )=Y0

¦

¦ Дадим приращение рес.,т.е.

X2 +----¬ M(X1 ,X2 ) выберем точку М1.

¦ ¦ Тогда для неё выполняется

¦ ¦ соотношение:

¦ dx ¦ f(X1+ ,X2+ ) =Y0

¦ ¦

¦ ¦

X2+ +----+---------¬ M'(X1+ ,X2+ )

¦ ¦ dx ¦

L----+---------+--------------->X1

X1 X1+

f(X1+ ,X2+ ) - f(X1 ,X2 ) = 0 (1)

df df

f(X1+ ,X2+ ) - f(X1 ,X2 ) = ---dx + -- dx (2)

dx dx

где dx - приращение

df df

 ---dx + -- dx = 0 (3)

dx dx

dx df/dx

= --- = - ------ (4)

dx df/dx

Т.о. вдоль изокванты выполняется соотношение (4) Вели-

чину &21 предельною нормой замещения 2-го ресурса 1-м.

Из соотношения (4) следует, что предельная норма

замещения & df/dx

 ------ & df/dx

2-го ресурса 1-м.

Из соотношения (4) следует, что предельная норма

замещения & df/dx

 ------ & df/dx

2-го ресурса 1-м.

Из соотношения (4) следует, что предельная норма

замещения & df/dx

 ------ & df/dx

Т.о. предельная норма замещения ресурсов = частному

от деления предельной производительности ресурсов со зна-

ком минус.

Предельная норма замещения показывает сколько единиц

2-го ресурса может быть высвобождено при затратах 1-го ре-

сурса на единицу продукции. Знак "-" можно интерпретиро-

вать следующим образом: при уменьшении исползования одно-

го ресурса количество другого должно быть увеличено.

dx df/dx

= --- = - ------

dx df/dx

Если предельную норму рассматривать в конкретной точ-

ке, то она совпадает с tg угла наклона касательной к

изокванте.

Этот угол меняется вдоль изокванты => меняется и пре-

дельная норма замещения , т.е. каждой точке изокванты соот

ветствует своя предельная норма замещения.

Расмотрим на условном примере применение предельной

нормы замещения

X2 (капитал)

¦

4+----¬ труд ¦ dx/dx-капитал

¦ ¦ ¦ замещённый трудом

3¦ ¦  -------+------------------

¦ ¦ 1-2 ¦ 1.5: 1: 1.5

2.5+----+----¬ 2-3 ¦ 1 :

2¦ ¦ ¦ ¦

+----+----+----¬ ¦

1+----+----+----+---------¬

L----+----+----+---------+---->X1(труд)

1 2 3 4 5

Выводы

Очевидно,что при задании фактора X1(труда) норма заме-

щения 2-го фактора (капитала) этим фактором (трудом)

уменьшается.

Это свидетельствует о том, что эффективность использо-

вания любого ресурса ограничена. По мере замены ресурса

X2(капитала) ресурсом X1(трудом) отдача последнего снижа-

ется, т.е. добавление к каждой следующей единицы труда

приводит к меньшему высвобождению капитала. Аналогично

происходит и при обратной замене . Из соотношения:

dx df/dx

= --- = - ------ (4)

dx df/dx

следует, что функция X2(X1)=F(X1,Y0) монотонно убывающая,

т.к.производная ным видом функции, а присуще всем производным функциям с

2-мя ресурсами. Для характеристики скорости изменнения

предельной нормы замещения вдоль изокванты вводится поня-

тие ? замещения ресурсов: обзначение ? G (X1,X2)

d(X1/X2)*&

G (X1,X2) = ---------- (5)

d&*(X1/X2)

Экономический смысл показателя & замещения ресурсов:

приближённо показывает на сколько % должно изменитьсмя

соотношение ресурсов при движении вдоль изокванты, чтобы

предельная норма замещения изменилась на 1%.

Существуют производственные функции с постоянной и пе-

рменным ? замещения.

Постоянство ? замещения ресурсов производственной

функции позволяет охарактеризовать с её помощью возмож-

ность замещения ресурсов в целом , ане при каком-то кон-

кретном соотношении ресурсов, как это делалось с помощью

пред? замещения.

Если ресурсы используются независимо и их норма заме-

щения const и не зависит от объёмов использования ресурсов,

то полагают, что ? замещения G= (бесконечные возмож-

ности замещения ресурсов) Для производственных функций, в

которых замещение ресурсов невозможно G=0.

¦ 0 ¦ А ¦

¦ ¦ Для производственной функции,

¦ ¦ в которой ? замещения стремиться к 0

¦ ¦ изокванта приближается к линии АВС.

¦ ¦ Для производственной функции

¦ ¦ с бесконенчным ? замещением

¦ ¦ изокванта имеет вид АС.

¦ ¦ Y=2X1 + 4X2

¦ В L----------------------

¦ С df df

L------------------------------>  -- = 2 ; -- = 2

dx dx

dx

 -- =  - 2/4 = - 0.5 , т.е. при добавлении одной едини-

цы ресурсов X1 высвобождается 0.5 ресурсов X2. Норма за-

мещения ресурсов в данном случае const и не зависит от объ

ёма ресурсов Х1 и Х2. ? замещения для этой функции =

ИЗОКЛИНАЛЬ

Как уже отмечалось норма замещения вдоль изокванты непре-

рывно меняется. В тоже время на разных изоквантах можно

найти точки с одинаковым периодом замещения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: линия ? соединяющая точки изоквант с одина-

ковым периодом замещения называются изоклиналью

¦

¦

¦

+-----------------------¬

¦ ¦

+----------------¬ ¦

¦ ¦ ¦

+---------¬ ¦ ¦

¦ ¦ ¦ ¦

L---------+------+------+-------->X1

Для одннородных ПФ изоклиналь изображается прямой

линией,выходящей из начала координат.

(37) Равновесие предприятия

Оно обеспечивается тогда,когда достигается max про-

изводства. Рассмотрим ПФ с двумя факторами (F1,F2). Пусть

цена факторов (с1,с2). Производство располагает опреде-

лёнными средствами с0, которые он использует на покупку

факторов производства ??????????

С1Х1 + С2Х2 = С0 (6)

Это уравнение прямой характерезует комбинацию ресурсов,

использование которых даёт одинаковые затраты, а прямая,

соответствующая уравнению (6) называется прямой равных

издержек или ИЗОКОСТОЙ.

Х2 ¦ Рост ??? средств или цен на ресурсы

¦ сдвигает изокоСда в право

¦ ( С0 > C0 )

¦

¦

¦

L--------------------> X1

C0 C0

¦ Сочетание ресурсов в рамках

¦ отрезка АВ возможно при данных

¦ средствах С0 в рамках кривой АВ.

¦ Т.о. точка пересечения изокванты

¦ и изокосты определяет затраты ре

¦ сурсов в рамках данного бюджета.

¦ Мах выпуск продукции будет соот-

¦ ветствовать изокванте, к которой

¦ изокоста будет касательной.

L------------------------->

В точке касания L изокванта и изокоста имеют одинаковый

наклон. tg угла наклона изокванты совпадает с предельной

нормой замещения (ПНЗ).

Уравнение изокосты в явном виде

С0 С1

х2= --- - --- * х1 (6')

С2 С2

dx2 c1

 ----- = ----- (7)

dx1 c2

Т.о. ПНЗ в точке мах выпуска при данном бюджете = отно-

шению цен на ресурсы.

(38) ПУТЬ РАЗВИТИЯ И ЭКОНОМИЯ ОТ МАСШТАБОВ ПРОИЗВОДСТВА

Предположим , что цены на ресурсы остаются const, бюд-

жет растёт => вверх и выпуск продукции.

x2 ¦ Нарисуем изокосты, соответствую-

¦ щие разному бюджету. Нарисуем

¦ окванты, соответствующие мах

¦ выпуску при данных бюджетах.

¦ Соединим точки изокост и изоквант

¦ некоторой линией L1,L2,L3 ,которую

¦ называют"путём развития" показывающей

¦ темп роста между факторами в процессе

¦ расширения производства.

L----------------> Вид пути развития зависит от:

x1  - вида изоквант;

 - цен на ресурсы (наклон изоквант).

Это может быть прямая или кривая линия, выходящая на

начало координат.

^ ^ ^

х2¦ х2¦ х2¦

¦ ¦ ¦

¦ ¦ ¦

¦ ¦ ¦

¦ ¦ ¦

¦ ¦ ¦

¦ ¦ ¦

¦ ¦ ¦

L---------> L------------------> L----------------->

(1) х1 (11) х1 (111) х3

* Если растояния между изоквантами при порциональном измен-

ении выпуска падает, то это свидетельствует о возрастающей

отдаче от расширения масштабов производства, т.е. увеличение

выпуска дстигается при относительной экономии ресурсов (11).

* В случае, когда увеличение выпуска потребует пропорциона-

льное увеичение ресурсов, имеем постоянную отдачу. Рассто-

яние не меняется.

* Увеличивается расстояние между изоквантами, что свидете-

льствует об убывающей отдаче и говорит о том, что эффекти-

вный размер п/п уже достигнут и дальнейшее наращивание про-

изводства нецелесообразно. В случае возрастания отдачи, на-

оборот следует наращивать объём производства.

* Т.о. анализ роизводства на основе изоквант позволяет оце-

нить эффективность п\п с ? , а использование изокост позво-

ляет к тому же оценить и ? эффективность, т.е. выбрать тех-

нологию трудо-, энерго-, капиталосберегающую, позволяющую

обеспечить выпуск продукции предприятия при тех же средст-

вах, которыми располагает п\п.

(41)ФУНКЦИЯ С ПОСТОЯННЫМИ ПРОПОРЦИЯМИ

(функция Монтьева)

y = y0 min( х1/x1 , x2/x2 ,xn/xn ) (1)

Эта функция предназначена для моделирования строго детерми-

нированных технологий, не допускающих отклонения от нормы.

Обычно используется для описания мелкомасштабных или полно-

масштабных автоматических производств. Основной особенностью

этой функции является рациональных ? ресурсов, задаваемой

вектором х0 = ( х1 ,.....хn ) норм затрат ресурсов. Если

вектор используемых ресурсов `х удолетворяет cоотношению

х =t*x0 (2) , то ресурсы расходуются рационально, при этом

выпуск продукции y = t*y0

* Любое отклонение в затрате ресурсов от структуры,задава-

емой соотношением (2) приводит к неэкономному использован-

нию этих ресурсов.

Действительно, пусть затраты ресурсов задаются вектором

Х` = (x1 + x1 + ......+ xn-1 + xn-1 +xn)

Посмотрим,приведут ли эти добавки ресурсов к повышению

выпуска продукции

x1 +x1 xn

y=y0 min(------,....,--- ) ---> y=y0

x1 xn

Если бы мы рассматривали ресурсы в соответствии с век-

тором х0, мы также получали бы выпуск = у0. Это свидетель-

ствует о том,что ресурсы, описываемые х` были затрачены

без какой-либо пользы,так как не привели к повышению про-

дукции,т.е. возрастание затрат всех ресурсов, кроме n-го,

не могло покрыть недостающий n-ый ресурс. Т.е. замещение

ресурсов здесь невозможно не только тогда, когда этот ре-

сурс отсутствует полностью, но и когда он имеется. Это

позволяет ввести понятие ЛИМИТИРУЮЩЕГО РЕСУРСА, т.е. тако-

го, для которого достигается

x1 xn

min(--,...,--)

x1 xn

Возрастание лимитирующего ресурса (их может быть нес-

колько) приводит к повышению выпуска продукции. Остальные

ресурсы остаются избыточными.

Если для всех ресурсов выполняется соотношение (2),то

все ресурсы лимитирующие и избыточности нет.

ПРИМЕР: Фуннкция с 2-мя ресурсами

x1 x2

y = y0 min (--,--)

x1 x2

Определим вектор нормальных затрат ресурсов: х0=(1,1)

Тогда y = y0 min (x1,x2)

Эта функция не является непрерывной, поэтому ее свойс-

тва будем рассматривать будем рассматривать на интервалах

непрерывности.

1) x1 dy y

 -- = y0  ---->предельная -- = y0 ----> средняя продук-

dx прод-сть dx1 тивность

Е1(х1) = 1

dy

 -- = 0 E2(x2) = 0

dx2

E(x) = E1 +E2 = 1

2) x2  ---- = 0  --- = y0

dx1 dx2

y = y0x2

Е1(х1) = 0 Е2(х2) = 1 Е = Е1 + Е2 = 1

Возрастание лимитирующего избыточного ресурса не приво-

дит к возрастанию выпуска продукции.

Если на 1% возрастет масштаб производства,то на 1%

eувеличится выпуск продукции, если оба ресурса лимитирую-

щие.

Построим изокванту для этой функции y=y0 min(x1,x2)

X2 I

I X1=X2 Изокванта этой функции не

I должна пересекаться с осями

I координнат

I ( по 1-му свойству)

I___________________X1

x1 = x2 ---> оба ресурса лимитирующие, линия рациональ-

ного расхода ресурсов.

y y

x1 = -- = a x2 = -- = b

y0 y0

Что нам дает анализ изокванты. Если мы будем увеличи-

вать нелимитирующий ресурс, выпуск продукции остается ??

Изокванты наглядно показывают,что возрастание

нелимитирующего ресурса не приводит к возрастанию выпуска

продукции.

Если мы увеличим лимитирующий ресурс,то перепрыгнем на

другую изокванту б=0

Анализируя свойства ПФ с постоянными пропорциями можно

прийти к выводу о том,что фуннкция позволяет ввести в мо-

дель понятие технологии производства,задаваемой ??? затрат

и зависимостью выпуска от масштабов производства.Это дела-

ет пригодной функцию с постоянными пропорциями для модели-

рования отдельных производств.

ФУНКЦИЯ АЛЛЕНА

Y =a0x1x2-a1x1¤-a2x2¤,a1>=0,a2>=0

Эта функция предназначена для описания производственных

процесов,в которых чрезмерный рост одного из факторов ока-

зывает отрицательное воздействие на объем выпуска. Обычно

используется для описания мелкомасштабных производств с

ограниченными возможностями в переработке ресурсов.

(42) ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ СПОСОБЫ

Для описания производственных процессов с несколькими

продуктами и несколькими ресурсами используется концепция

ПРОИЗВОДСТВЕННОГО СПОСОБА.

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ СПОСОБ ЕДИНИЧНОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ задает-

ся описанием двух векторов:

X0=(x1,...,xn)

Y0=(y1,...,yn),

что означает,если мы затрачиваем ресурсы в соответствии с

х0,то получаем выпуск продукции в соответствии с y0.Он за-

дается ??????? затратами ресурсов.

Все остальные производственные способы задаются с по-

мощью скалярного множителя ^

X= ^x0

Y= ^y0

^ - показатель интенсивности производственного способа.

Считается,что каждому ^ соответствует вариант функциониро-

вания производственной системы.

Различные производственные способы могут отличаться как

объемом выпуска,так и затратами при единичной интенсивнос-

ти,кроме того,номенклатурой продукции и ресурсов.

Поэтому в математических моделях,в которых используются

несколько производственных способов,в описания этих спосо-

бов включают все продукты и ресурсы,используемые в произ-

водственных системах,т.е.в том числе и те,которые не ис-

пользуются данным способом.

При этом соответствующие компоненты векторов X и Y

полагают = 0.

Часто производственные способы описываются по друго-

му,т.е.не на основе соответствия (2)

V0 = (-x0,y0)

V = ^V0

Это означает,что при моделировании не различают продук-

ты и ресурсы,их называют просто МАТЕРИАЛЬНЫМИ БЛАГАМИ.

"-" - материальные блага тратятся

"+" - материальные блага производятся

Если количество какого-либо ресурса заранее ограничено

xi производственного способа.

xi max

^ Вместо термина производственный способ часто использу-

ется термин технология производства.

СВЯЗЬ ФУНКЦИИ С ПОСТОЯННЫМИ ПРОПОРЦИЯМИ С ПРОИЗВОДС-

ТВЕННЫМ СПОСОБОМ.

x1 xn

Y = y0 min (--,...,--)

x1 xn

1. x0 = (x1,...,xn)

y = y0 -задание производственного способа единичной ин-

тенсивности.

2.x =^x0

y =^y0  - производственный способ интенсивнности ^.

Эти задания эквивалентны.

(43) ПОСТРОЕНИЕ И РАСЧЕТ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Вопрос о построении производственных функций, т.е. о выборе соотношений P = (X,Y,A) = 0, связывающих результаты производственной деятельности с затратами производственных ресурсов и об оценке параметров этого соотношения является одним из основных при построении ??? моделей. Отправильнности описания этих связей зависит адекватность моделей реальной действительности, а след-но и осуществимость планов, принимаемых на основе этих моделей.

Можно выделить 2 направления исследований при построении ПФ.

1)анализ структуры производственной единицы и построение ее структурной модели, которая должна служить основой для вывода ПФ.

2)анализ реакции производственной единицы на внешнее воздействие, в частности на изменение структуры и количества производственных ресурсов и построение функциональной модели, как основы для выбора ПФ.

Сказать суть каждого подхода

(44) СТРУКТУРНЫЙ ПОДХОД (СП)

При использовании СП изучаемую производственную единицу разбивают на более элементарные, связанные балансовыми соотношениями. Это деление производят до тех пор, пока не удается дойти до простейших актов процесса производства, о которых можно судить, например, по конструктивным, технологическим параметрам оборудования.

Эти чисто технические параметры определяются в процессе конструирования и опытной эксплуатации оборудования и служат основой для расчета нормативов, регламентирующих затраты ресурсов, производительность оборудования и прочее.

В свою очередь эти нормативы и являются информационной основой для построения ПФ, обычно функции затрат, для элементарных производственных единиц.

Например, известен расчет с/с изделий, в зависимости от их технологических параметров, применяемый в машиностроении.

X = f( , , )

X - с/с рассматривается как функция от параметров , , .

- вес изделия

- мощность станка

- потребляемая энергия

В ряде случаев расчет этой ПФ позволяет довольно точно определить уровень с/с новой машины в зависимости от выбранных параметров, что является чрезвычайно важным, например, для перспективного планирования.

На основе ПФ элементарных производственных единиц строятся затем функции для более сложных экономических объектов: участков, цехов и прочее.

Но как уже отмечалось, в экономике большую роль играют социально-экономические факторы, поэтому нормативы, рассчитанные на основе технологических и технических параметров, будут характеризовать лишь предельные возможности оборудования, а построенные на их основе ПФ будут описывать идеальное производство.

В действительности же производительность оборудования и затраты ресурсов могут значительно отличаться от нормативов. Ситуация становится еще более сложной при переходе от простых производственных объектов к более сложным, типа участка, цеха и прочее.

Т.о., структурные модели можно использовать для построения теоретических ПФ, опирающиеся на предположения о рациональной организации производства. На основе экономической функции можно составить представление об идеально функционирующем производстве, оценить его потенциальные возможности и на этой основе выявить потери, возникающие из-за недостатков экономического механизма.

Выработка адекватных экономических моделей, социально экономических моделей производственных единиц- это единственный путь к построению полностью обособленных отражающих реальность ПФ. Пока уровень современной науки не позволяет построить такие экономические модели, поэтому в настоящее время наибольшее распространение получили ПФ, опирающиеся на функциональные модели производственных единиц.

(45) ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ПОДХОД

Построение функциональной модели некоторого объекта исследования базируется на методе "ЧЕРНОГО ЯЩИКА", идея которого: вместо того, чтобы пытаться описать сложную внутреннюю структуру объекта, следует построить относительно простые функции, связывающие реакцию объекта на внешние воздействия с величинами этих воздействий. При этом параметры функции выбирают так, чтобы она приблизит. отражала результ. наблюд. за моделируемым объектом.

При построении ПФ ,"черным ящиком" является изучаемая экономическая единица, внешними воздействиями которой (входами) обычно являются затраты ресурсов, а выходом - получаемая продукция.

X |-------------- | y F (X,Y,A) = 0

 ----> |--процесс- |------>

вход |-------------- | выход

Рассмотрим ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ ПФ (Б46) на основе функционального подхода:

1.ТЩАТ. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ СУЩНОСТИ ИЗУЧАЕМОГО ЯВЛЕНИЯ ИЛИ ПРОЦЕССА, движущих сил его развития, характера важных причинно-следственных связей. На основе анализа осуществляется отбор включаемых в ПФ показателей факторов. исследователь редко может назвать все факторы в той или иной мере влияющие на изучаемый показатель. Но если он знает даже достаточно много факторов, включение их всех в ПФ либо невозможно, либо нецелесообразно, так как влияние одних факторов может быть заведомо слабым, по другим отсутствует информация и т.д. Поэтому в ПФ обычно включают лишь главные, наиболее существенные факторы, оказывающие решающее воздействие на изучаемый показатель. По отношению к реально разрабатываемым ПФ, все факторы можно разделить на 3 группы:

1) - переменные величины, включенные в уравнение ПФ;

2) - факторы, которые в наблюдаемой статистической совокупности являются фиксированными и не влияют на колебания зависимой переменой;

3) - переменные, вариация которых влияет на изучаемый показатель, но который по тем или иным причинам не включается в ПФ.

Специфика ПФ по сравнению с другими статистическими моделями заключается в том, что в качестве независимых переменных в них функционируют в основном различные виды ресурсов. Построение ПФ предполагает решение вопроса о выборе вводимых в функцию первичных ресурсов и промежуточных продуктов. Так, в однопродуктовые модели н/х включают обычно труд и производственные фонды. На уровне отраслей, п/п список ресурсов может отличаться большим разнообразием.

2. Одним из самых важных этапов построения ПФ является ФОРМИРОВАНИЕ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ. Необходимо иметь достаточно большую совокупность статистических наблюдений, в которых каждое наблюдение характеризуется численными значениями всех показателей факторов и зависимого показателя.

Теоретически минимальной границей числа наблюдений служит количество постоянных величин (параметров) в изучении ПФ. Однако, при такой совокупности данных нельзя оценить надежность получаемых характеристик регрессионной модели, которой является ПФ. Считается, что число наблюдений должно по меньшей мере в 5-6 раз превышать количество параметров уравнения.

Описан. принц. оформления данных основ. на статическ. данных.

Данные для построения ПФ бывают 2-х видов: экспериментальные и неэкспериментальные.

ДАННЫЕ 1-ГО ВИДА получают как результат специально поставленного эксперимента. Например, для изучения влияния удобрений на урожайность на ряде участков земли одинакового плодородия принимают различное количество удобрений.

Прочие факторы фиксируются для всех участков. Тогда следует считать,что разлчная урожайность будет следствием различного количества удобрений. Получим экспериментальные данные:

X | Y

-------

x1 | y1

x2 | y2

.......

xn | yn

Неэкспериментальные данные оформляются на основе материалов учета статистической отчетности спец. обследований.

Имеются положительные и отрицательные стороны применения обоих видов данных.

В экономических исследованиях преимущественно используются неэкспериментальные данные.

Другой признак классификации данных для ПФ - это разделение на: ЕДИНОВРЕМЕННЫЕ и РАЗНОВРЕМЕННЫЕ наблюдения.

Данные, относящиеся к одному периоду времени образуют совокупность ЕДИНОВРЕМЕННЫХ или ПЕРЕКРЕСТНЫХ наблюдений.

Если наблюдения берутся за разные периоды времени, они образуют временные ряды исходных данных - РАЗНОВРЕМЕННЫЕНАБЛЮДЕНИЯ.

Одну и ту же зависимость можно изучать двумя наблюдениями. Например, ПФ отрасли, выражающую зависимость продукции отрасли от затрат труда и производственных фондов можно получить 2-мя путями: 1) Данные за 1 год о продукции, трудовых ресурсах, фондов по различным п/п - это перекрестные наблюдения. 2) Данные за несколько лет о продукции, трудовых ресурсах, фондах всей отрасли - это временные ряды.

Эти 2 вида наблюдений имеют свои достоинства и недостатки.

На перекрестных данных меньше сказываются качественные изменения продукции, ресурсов, зато слишком сильным может оказаться искажающее воздействие неучтенных факторов.

Для общественных данных за несколько лет состав и влияние неучтенных факторов отличается большей стабильностью, но качественно неоднородными становятся характеристики самих переменных моделей, т.е. продукции, ресурсов.

Известные трудности возникают и в связи с явлениями автокорреляции во внешних рядах.

АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ - зависимость последующих значений показателей от предыдущих.

Нередко исходная статистическая совокупность образуется от перекрестно - временных данных. Например, данных ряда п/ п за несколько отчетных периодов.

Применение для построения ПФ технических или иных данных зависит от содержания и целей исследования, а также тех возможностей получения информации, которыми располагает исследователь.

Экспериментальные данные чаще всего формируются как совокупность перекрестных наблюдений; на уровне п/п чаще всего пользуются комбинированными статистическими данными; на уровне отрасли - временные ряды. 3. На основе анализа исходных данных подбирается математическая форма уравнений ПФ. Существуют некоторые общие приемы, применяемые при подборе уравнений. 1)графический анализ характера зависимости y I

I

I

I

I

I

I______________X

2) Выбор вначале простейших видов функций и по выявлении их епригодности - переход к последующим усложнениям.

3) Сравнение для различных видов функций количественных оценок ?????? связей и статистической надежности уравнения в целом.

ПФ как особый класс статистических моделей позволяет применить некоторые специфические приемы, а именно, на основе начального анализа и предварительного изучения количественных данных обычно удается сделать выводы не только в отношении общего характера изменения самой величины, но и таких показателей, как средний и предельный продукт, норма замещения, эластичность замещения. Соответствующие характеристики известны для различных форм уравнений.

Т.о. создаются предпосылки для обоснованного и осмысленного выбора уравнений ПФ.

(46). РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ПФ (Б45)

Наличие исходных данных и выбор формы уравнения позво-

ляет перейти к расчету параметров ПФ. Существует ряд

методов расчета параметров, однако наиболее употребимым

является метод наименьших квадратов.

СУТЬ ЕГО: Пусть X (x1,x2,...,xn) - (1)

вектор независимых переменных x.

Y (y1,y2,...,yyn) - (2)

соответствующие значения зависимых переменных.

Пусть уравнение ПФ: P = (X,Y,A) = 0

В явном виде оно: Y = f(X,A) (3)

Подставим наблюдаемые значения независимых переменных в

уравнение ПФ. В результате мы найдем Y теоретическое (Yт):

Yт(A) = {y1т,y2т,...,ynт} - (4)

это теоретические значения независимой переменной,вычисля-

емые на основе ПФ.

НАША ЦЕЛЬ: выбрать параметр "а" таким образом,чтобы те-

оретическое значение ут ПФ минимально отличались от факти-

ческих значений Y.

Поэтому составляем разнность:

( Yт - Y) - отклонение теоретического значения от

фактического при наблюдении j

j = (1,n)

min сумма при j от 1 до n (yjт - yj)¤ - (5)

квадратичное отклонение по всем отклонениям теоретических

значений. Следовательно параметры А ПФ должны быть выбраны

таким образом,чтобы выполнялось соотношение (5)

Ф = сумме при j от 1 до n (Yjт - Yj) --> min

Ф

 -- = 0 Найдем частную переменную от "а" и приравняем к 0.

а

Получае систему уравнений для расчета параметров ПФ.

Эти системы называются СИСТЕМАМИ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Ре-

шив ее, ннайдем параметры ПФ.

Метод наименьших квадратов применим для линейных урав-

нений относительно параметра однофакторных и многофактор-

ных ПФ (для всех других статистических функций).

Если уравнение ПФ может быть приведено к линейному

относительно параметров с помощью замены, то к таким фук-

циям так же применим этот метод. Другими словами, если за-

висимость можно записать в виде:

Y = a0 + a1v1 + a2v2 + ... + anvn, (7)

где vi - функции, независящие от параметров, то можнно

применить метод наименьших квадратов для расчета парамет-

ров: а0,а1,...,аn. vi могут быть 1/х,lnx,x¤ и т.д.

Пример: Функция Y = x1 в степени альфа * x2 в степени

(1 - альфа).

Для приведения к линейнному виду используем логарифми-

рование.

ln y = альфа ln x1 + (1-альфа)lnx2

Обозначим ln y = и

ln x1 = v1

ln x2 = v2

Получим: и = альфа * v1 + (1-альфа)*v2

К виду (7) приводится большинство практически применни-

мых ПФ.

Опишем применение метода для однофакторной ПФ: (есть

один ресурс) Y = a0 + a1x

Составим функцию Ф(а)

Ф(а) = сумма при j=(1,n) от (y-a0-a1x)¤ - значения бе-

рутся из статистических данных. Составим систему нормаль-

ных уравнеий. Для этого найдем

Ф n

 --- = -2 (yj - a0 - a1xj) = 0

а0 j=1

Ф n

 --- = -2 xj(yj - a0 - a1xj) = 0 (8)

а1 j=1

Решим систему уравнений (8)

n n

na0 + a1 xj = yj

j=1 j=1

n n n

a0 xj + a1 (xj)¤ = yjxj

j=1 j=1 j=1

Введем обозначения:

1 n

Y = - yj  - среднее значение наблюдаемого значения y.

n j=1

1 n

X = - xj - среднее для совокупности независимых пере-

n j=1 менных.

1 n

X¤ = - xj¤

n j=1

1 n

XY = - xjyj

n j=1

Все эти величины имеют смысл средних значений соответс-

твующих величин. Тогда система нормальных уравнений имеет

вид: a0 + a1x = y

a0x + a1x¤ = xy

 = | 1 x | a0 = y + ax

| x x¤| 1

an = - (xy - xy)



Примеры наблюдения ошибка ур-ия

i | x | y | yт | y - yт | (y - yт)¤ |

 ---------------------------------------------------

1 | 10 | 11 | a0+10a1 | 11-a0-10a1 | (11-a0-10a1)¤

2 | 20 | 13 | a0+30a1 | 13-a0-30a1 | (13-a0-30a1)¤

3 | 30 | 16 | a0+50a1 | 16-a0-50a1 | (16-a0-50a1)¤

4 | 40 | 18 | a0+70a1 | 18-a0-70a1 | (18-a0-70a1)¤

Y I   y

I  -- - предельная прод-сть

20I . x

I .

10I .

I

I___________________

70 X

Пусть Y = a0 + a1x - уравнение ПФ, зависит от а0,а1.

Найдем параметры а0,а1

Ф(а) = (11-а0-10а1)¤ + (13-a0-30a1)¤+(16-a0-50a1)¤+

+(18-a0-70a1)¤

Составляем систему нормальных уравнений:

Ф

 --- = -2{11-a0-100a1+13-a0-30a1+16-a0-50a1+18-a0-70a1}=

а0 = 0

 -4a0-160a1+58 = 0

4a0+160a1=58

Ф

 --- = 2{-10(11-a0-10a1)-30(13-a0-30a1)-50(16-a0-50a1)-

а1

 -70(18-a0-70a1)} = 0

11-a0-10a1+30-3a0-90a1+5a0-250a1+126-7a0-490a1=0

840a1-16a0+256=0

Получили систему: 4а0 + 160а1 = 58

160а0 + 840а1 = 256

2-ОЙ СПОСОБ:

i | x | y | x¤ | XY |

 --------------------------------

1 | 10 | 11 | 100 | 110 |

2 | 30 | 13 | 900 | 390 |

3 | 50 | 16 | 2500 | 800 |

4 | 70 | 18 | 4900 | 1260 |

сумма| 160 | 58 | 8400 | 2500 |

?? | 40 | 58/4 | 2100 | 640 |

 ---------------------------------

a0 + 40a1 = 58/4 a1 = 1/(xy - x*y)

40a0 + 2100a1 = 640 a0 = y - a1x

 = | 1 x | = | 1 40 | = 500

| x x¤| |40 2100|

Система имеет решение

a1 =1/500*640 - 40*58/4 = 0,12

a0 = 58/4 - 0,12*40 = 9,7

y = 9,7 + 0,12x - ПФ, которая апроксимирует наши рас-

суждения.

y I Существует несколько методов

I определения ошибки построения

13,3I . уравнения ПФ (проверка адек-

10 I ватности модели)

I

I_________________X

70

(47). Для практического использования ПФ большое значение имеет их адекватность, т.е. соотношение реальному процессу и тем статистическим данным, на основе которых построена производственная функция. Этим целям служит анализ статистических ошибок. В отличие от ошибок механического характера (описки, нневерные вычисления), статистические ошибки возникают из-за самой сущности корреляционной зависимости между наблюдаемым показателем Y и показателем функции

X(x1,x2,...,xn). Характерные для производственной функции ошибки можно условно разделить на 3 группы:

1) ошибки наблюдения,

2) ошибки уравнения,

3) ошибки выборки.

ОШИБКИ НАБЛЮДЕННИЯ

Наблюдаемые значения независимых переменных х, служащих основой для расчета ПФ обычно содержат ошибки наблюдения.

Источником возникновения этих ошибок может быть несовершенство средств и методов наблюдения, измерения, контроля, высокая агрегированность показателей, выбранных в качестве независимых переменных, качественная неоднородность этих показателей и прочее.

Судить о величине и характере ошибок наблюдения довольно трудно. Если ошибки известны, то их можно исключить.

Обычно же об ошибках этого рода имеется весьма общее представление и если есть основание предполагать, что они невелики, то для расчета параметров можно применить метод наименьших квадратов.

При значительной величине ошибок этот метод дает неточные оценки параметров. В этом случае иногда пользуются другим методом - методом взвешенной регрессии. Однако этот метод сложен в вычислительном отношении и требует знания количественных характеристик ошибок наблюдения, которые редко бывают известны.

В связи с ошибками наблюдения серьезное значение приобретает исследование мультиколлинеарности - это существующие корреляционные связи между независимыми переменными.

Мультиколлинеарность опасна тем, что расчитанные по методу наименьших квадратов (МНК) параметры ПФ могут оказаться бессодержательными, обусловленные ошибками наблюдения. Простейший способ проверки мультиколлинеарности заключается в вычисленнии и оценке коэффициентов корреляции для каждой пары, включаемых в уравнение независимых переменных. Если для какой-то пары переменных коэффициенты корреляции оказываются достаточно большими, порядка ~0.8, то следует рассмотреть вопрос об исключении из уравнения одной из этих переменных. Впрочем, это необязательно, если каждая из переменных оказывает на зависимую переменную достаточно сильное воздействие, т.е. Ryxk ~= 0.8, где Ryxk коэффициент корреляции.

(50) ОШИБКИ ВЫБОРКИ

Построение ПФ основывается обычно на совокупности исходных данных, которая не охватывает все без исключения аналогичные и однородные в качественном отношении единицы наблюдения.

Если, например, определяемая ПФ рассматривается по данным п/п отрасли, то редко используют данные всех п/п, ограничиваясь обычно лишь некоторой частью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Совокупность всех единиц качественно однородных в отношении изучаемых признаков называется ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТЬЮ, а отобранные для анализа - ВЫБОРОЧНАЯ СОВОКУПНОСТЬ.

Параметры уравнения, коэффициенты корреляции и другие характеристики ПФ, определяются а основе выборочной совокупности наблюдений (будут очевидно отличаться от соответствующих величин, рассчитанных по генеральной совокупности). Поэтому выборочным характеристикам можно приписать некоторые ошибки, связанные с неполным охватом наблюдениями всех единиц генеральной совокупности. Обычно для проверки адекватности модели находят ошибку коэффициента детерминаци и коэффициента корреляции, а также ошибки коэффициента регрессии.

Вычисленные ошибки выборочных коэффициентов позволяют выполнить следующие важные расчетно- аналитические процедуры:

1) провести испытание значимости (существенности связи между зависимыми и независимыми переменными),

2) определить доверительные интервалы для выбора коэффициентов.

(51) ЗНАЧИМОСТЬ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ (Б46)

При установлении (анализе) значительности проверяется

гипотеза существования связи. Испытуемой является 0-ая ги-

потеза об отсутствии связи,которая предполагает,что корре-

ляция = 0, а альтернативной является гипотеза, предполага-

ющая,что коэффициеннт корреляции R не= 0.

В основе проверки лежит идея дисперсионного анализа,

состоящая в сравнении оценочной дисперсии Sr¤ с остаточной

дисперсией Sост¤.

В качестве критерия значимости между исследуемыми приз-

наками используется дисперсионное отношение или F-крите-

рий, который имеет распределение Фишера-Индекора

Sr¤

Fрасч= ----

Sост¤

С числом степеней свободы Vr и Vост = n-k.

Английский статистик Фишер определил, теоретическое

распределение этих дисперсий.Все это сведено в таблицу

распределения показателя F. Эти теоретические величины от-

ношений связаны с определением доверительной вероятности и

зависят от числа степеней свободы для двух сравниваемых

дисперсий.

Обычно используется 2 таблицы, позволяющие судить о ве-

личине F.

При доверительной вероятности 0.95 - одна таблица и

0.99 - другая таблица

Первая дает 5% - й уровень значимости,

вторая - 1% - й уровень значимости.

Для выбранного уровня доверительной вероятности по таб-

лице F распределения в зависимости от степеней свободы Vr

и Vост выбираются теоретические значения F.Эти табличные

теоретические значения F используются как критические для

оценки расчетных значений F. Если Fрасч > Fтабл, то урав-

нение регрессии считается значимым.

Качество выбора функции можно оценивать сравнением оце-

ночных дисперсий: остаточной и общей.

Если Sост¤ дели. Можно дальше проверять по условию Фишера.

Если это условие не выполняется,то модель является

неадекватной и можно выбрать другую модель.

(Б47)

Значимость коэффициента корреляции может также быть оп-

ределена на основе t -критерия Стьюдента.

В случае простой линейной зависимости коэффициент кор-

реляции в генеральной совокупности имеет ошибку

v1-rг¤

сигма r г = ------

vn-1

Коэффицнт кореляции rг обычно величина неизвестная. При

достаточно большом объеме выборки rг можно заменить на вы-

борочный коэффициент корреляции rвыбор.

v1-rвыб¤

сигма rг = ----------

vn-1

Тогда с вероятностью P(t) можно утверждать,что

r - cbuvfrг*t= сигма r - ошибка К корреляции

t - коэффициент доверия, определяющий степень вероят-

ности утверждения Р(t). Величина t находится по таблицам

Стьдента.

ПРАВИЛА ПОЛЬЗОВАНИЯ ТАБЛИЦАМИ

Вероятность доверительности данных выбираем исходя из

конкретных практических требований. Обычно используют

Р(t)=0.95

Затем по таблицам находят t в соответствии выбранной

вероятности t = 1 ------> P(t) = 0.686

t = 2.58 ---> P(t) = 0.99

t = 3 ------> P(t) = 0.997

В результате имеем t-критерий оценки значения К корре-

ляции. Находим t-расчетное /r/

tрасч = -------

сигма r

Если tрасч > t для выбранного уровня вероятности модель

считается адекватной.

Использование t - критерия Стьюдента основано на свойс-

твах нормального закона распределения случайных величин. В

статистике показано, что уже при числе наблюдений n > 50

распределение Стьюдента мало отличается от нормального.

Поэтому применение этого критерия требует достаточно боль-

шой выборки.

Проверка адекватности модели предусматривает также оп-

ределение значимости каждого коэффициента регрессии. Если

проверка показывает, что величина коэффициента регрессии

аi не существенно в статистическом отношении отличается от

0, то следует рассматривать вопрос об исключении из урав-

нения членов с этим коэффициентом.

0.2 - слабая связь, следовательно коэффициенты выбрасы-

ваются,

0,5-0,6  - умеренная,

0,9 - хорошая.

Проверка значимости способствует улучшению формы урав-

нения и сохранению в нем только статистически значимых

членов, что ведет к возрастанию адекватности модели.

Оценим ПФ из примера 1.

y=9,7*0,12x

Оценим тесноту связи

 ---------------------------------------------------------

x y y y-y y-y y-y (y-y)¤ (y-y)¤ (y-y)¤

 --------------------------------------------------------

10 11 10,9 -3,5 -3,6 0,1 12,25 12,96 0,01

30 13 13,3 -1,5 -1,2 -0,3 2,25 1,44 0,09

50 16 15,7 1,5 1,2 0,3 2,25 1,14 0,09

70 18 18,1 3,5 3,6 -0,1 12,25 12,96 0,01

 -----------------------------------------------------------

cумма 58 29 28,8 0,2

 -----------------------------------------------------------

14,5

 -----------------------------------------------------------

Q = 29 = сумма от(y-y)¤

Qr = сумма от (y-y)¤ =28,8

Qост = сумма от (y-y)¤ = 0,2

Qост Найдем оценочные дисперсии:

Q 29

S¤= --- = -- = 9,66

n-1 3

Qr 28,8

Sr¤= --- = ---- = 28,8

2-1 1

Qост 0,2

Sост¤= ---- = --- = 0,1

4-2 2

Найдем коэффициенты ДЕТЕРМИНАЦИИ

Qr 28,8

R¤= -- = ---- = 0,99

Q 29

Значение коэффициента детерминнации свидетельствует о

тесной связи между Y и X.

Определим значимость уравнения по F-критерию

Sr¤ 28,8

F = ----- = ---- = 288

Sост¤ 0,1

При уравнении значимости 0.05 и числе степеней свободы

V=1, Vост=2 найдем F табличное

Fтабл= 18,51

Fрасч= 288 > Fтабл= 18,51

следовательно коэффициет корреляции R является значимым

и соответственнно коэффициент детерминации R¤.

Если Fрасч> Fтабл, больше,чем в 4 раза, то связь хоро-

шая.

Найдем ошибку коэффициента корреляции и доверительный

интервал 1-0,99

б = ------ = 0,0056

v4-1

(v0,99)-3*0,0056 Построим доверительный интервал для Р(t) = 0,997

t = 3 . Тогда доверительный интервал = 3*0,0056

Проверим значимость коэффициента корреляции по t-крите-

рию. /R/ v0,99

tрасч= --- = ------ =~ 17,76

б2 0,0056

tрасч > tтабл, это говорит о хорошей связи, значит мо-

дель достоверна.

Y = 9,7 + 0,12X

29.11.94Г.

ВЫВОД по функциональному подходу:

Метод "черного ящика" в настоящее время является наибо-

лее распространенным. Главным недостатком этого метода

является неявное предположение о сохранении в ПФ тех тен-

денций, которые ннаблюдались в прошлом,так как параметры

ПФ выбираются на основе статистических наблюдений, кото-

рые имели место в прошлом. Если производственная единица

действовала в прошлом непрерывно,то ПФ также отразит эту

непрерывность, а планирование деятельности производствен-

ной единицы на основе такой ПФ приведет к непрерывности

производства в будущем.

Недостатки функционального подхода и недостатки разви-

тия структурного иногда пытаются компенсировать на основе

синтеза этих методов, а именно, желательную производствен-

ную единицу описывают с помощью функциональной модели, а

затем каким-либо образом на их основе строят производс-

твенную функцию ?????? в целом.

Следует представлять, что ПФ является довольно условным

описанием реальных свойств производственных объектов. Поэ-

тому при инспирации и использовании результатов следует не

выходить за пределы, в которых модель верна (адекватна ис-

пользованнным данным).

Это сильно ограничивает возможность применения элемента

в практической деятельности и требует разработки специаль-

ных методов анализа результатов экономического моделирова-

ния.

(55) ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ

ПФ позволяют количественно проанализировать важнейшие экономические зависимости в сфере производства. Основная цель такого анализа - дать исходный материал для прогнозирования и рационализации планирования развития производства. В этом смысле выделяют 3 направления использования ПФ:

1 плановые решения, основывающиеся на общих результатах анализа ПФ, т.е. выводы, следующие из этого анализа играют существенную роль при разработке планов, хотя сами ПФ в плановых расчетах непосредственно не участвуют.

2 ПФ непосредственно используются в расчетах на перспективный период уровня и динамики основных производственных показателей.

В этом случае по статистическим данным для каждого конкретного производства подбирается форма и рассчитываются параметры ПФ. данные анализа используются для прогноза и планирования.

3 Использование ПФ в опыте планирования при принятии отдельных плановых решений.

В этом случае ПФ чаще всего выступает в качестве критерия оптимальности или целевой функции.

(56). НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

В рассмотренном курсе математического программирования

мы рассматривали оптимизационные задачи, возникающие в

связи с изучением различных экономических ситуаций. Всякий

раз искалось решение лучшее в рассматриваемой ситуации.По-

добный подход к принятию решений опирался на следующие до-

пущения: считалось, что достаточно найти количественные

характеристики определенной экономической ситуации, чтобы

на их основе выбрать лучшее решение. Причем эти характе-

ристики являлись фиксироваными величинами.

Например, рассмотрим задачу об оптимизации ассортимента.

Имеется m видов ресурсов, запасы которых ограничены и

составляют соответственно b1,b2,...,bm. Нормы расхода ре-

сурсов на единицу выпускаемой продукции: аij.

сj - цены реализованной продукции.

Определить план производства продукции, обеспечивающий

максимальную прибыль от реализации.

X = (x1,x2,...xm) - план выпуска продукции

aijxj = j

xj>=0

Z = Cjxj  --> max

j

Эта ситуация называется ситуацией ОПРЕДЕЛЕННОСТИ.

В реальных условиях цена реализации не может быть опре-

деленной величиной, сj - случайная величина ==> прибыль Z

тоже случайная величина. И в этом случае решение приходит-

ся принимать в условиях ограниченности или недостаточности

информации, а это приводит к двум новым ситуациям:

1) принятие решения в условиях риска,

2) принятие решения в условиях неопределенности.

Чтобы проиллюстрировать различия между ситуациями расс-

мотрим вышеупомянутую задачу выбора ассортимента.

В условиях риска цена реализации сj уже не является

фиксированной. Это случайная величиа, точное числовое зна-

чение которой не известно, но известна функция распреде-

ленния этой величины f(cj). Тогда

Z = cjxj ,

j

также случайная величина, точное значение которой не

известно даже, если xj задано.

Модели такого рода называются МОДЕЛЯМИ СО СЛУЧАЙНЫМИ

ФУНКЦИЯМИ или СТОХАСТИЧЕСКИМИ МОДЕЛЯМИ.

В условиях неопределенности функция распределения f(cj)

неизвестна, либо не может быть определена. В действительнос-

ти неопределенность не означает, полного отсутствия инфор-

мации. Например, лицо, принимающее решение может предпо-

лагать, что сj C {c1,c2,...,ck}. Но до тех пор пока не

известны вероятность этих значений ситуация рассматривает-

ся как принятие решения в условиях неопределенности.

Неопределенность может возникать в следующих случаях:

1) в исследуемой экономической ситуации могут участво-

вать люди, коллективы, хозяйства, подразделения преследую-

щие собственные цели, отличные ????????????

не только в зависимости от деятельности экономических

законов, но и от деятельности окружения,а их интересы ско-

рее всего не совпадают. И существование решения,принятого

в одном из подразделений может оказать существенное влия-

ние на те или иные характеристики экономической ситуации,

в которой принимают решения другие подразделения.

2) неопределенные факторы могут возникать из-за неуч-

тенности каких-то признаваемых процессов или величин (по-

годные условия).

Анализ проблем принятия решений в условиях неопределен-

ности рассматриваются в теории игр.

Первым начал исследования в теории игр французский

математик Борель в 20-х годах ХХ века. Но его работы не

привлекли должного внимания. И только в 1944 году после

выхода книги Фон Неймана и Монгенштерна "Теория игр и эко-

номическое поведение" теория игр начала развиваться как

раздел экономико-математических методов или науки об уп-

равленнии.

(57) ОСН. ПОЛОЖЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ИГР

Известно много определений понятия игры, отличающиеся степенью формализации, начиная от простого содержательного описания и кончая такими, в которых игра трактуется как абстрактная чисто математическая категория. Но во всех случаях теория игр рассматривает ситуации, в которых субъект не располагает всеми данными, необходимыми для принятия оптимального решения. Эти данные могут отсутствовать в силу объективных причин или умышленно скрываться теми, кто преследует собственные цели. Тогда решение приходится принимать в условиях неопределенности. Такие ситуации называют ИГРОВЫМИ, а процесс принятия решения в такой ситуации ИГРОЙ.

ИГРА - это действительный или формальный конфликт, в которой имеется по крайней мере два участника, каждый из которых стремится к достижению своих собственных целей.

Причем, все участники не могут достичь своих целей в максимальной мере.

Действия одних участников игры создают для других ситуацию неопределенности. Задачей каждого участника является достижение успеха максимально возможного в такой неопределенной ситуации.

Понятие успеха нуждается в специальном определении в каждом конкретном случае. Это может быть максимум дохода, минимум затрат и прочее. Такие выражения успеха, как престиж, авторитет, внешние, не имеющие количественного выражения в теории игр не рассматриваются.

От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам. Эти правила определяют:

1) участников игры,

2) права и обязанности участников (возможные действия)

3) исход игры. Выигрыш или проигрыш каждого участника в зависимости от сложившейся ситуации.

Человек издавна пользуется такими моделями конфликтов, играми в буквальном смысле слова: шахматы, шашки, футбол.

Отсюда и название теории игр и ее терминология.

Терминология:

1) ИГРОКОМ принято считать одного участника или группу участников, если все они имеют общие цели, не совпадающие с целями других групп. Игроком может быть среда(природа), выступающая как совокупность дезорганизующих обстоятельств.

2) ПРАВИЛА или УСЛОВИЯ ИГРЫ определяют возможные линии поведения игроков на любом этапе развития игры.

Сделать выбор игроку - значит остаться на одной из возможных линий игроков.

Совокупность правил, определяющая выбор варианта действия при каждом личном ходе игрока в зависимости от сложившейся ситуации называется СТРАТЕГИЕЙ ИГРОКА.

Стратегия - это совокупность, указывающая для любого состояния информации, имеющегося у игрока на любом этапе развития игры.

Стратегии могут быть хорошими и плохими, удачнными и неудачными. Игра может иметь множество стратегий.

Когда игра имеет множество стратегий обычно перебрать их невозможно. Поэтому при анализе и изучении стратегий выбирают главные.

В игре, отображающей экономическую ситуацию, стратегиями могут быть размеры капитальных вложений, выбор определенной величины запасов, определенная ценовая политика.

Задача теории игр состоит в выявлении наилучших оптимальных стратегий.

Стратегия называется ОПТИМАЛЬНОЙ, если она обеспечивает игроку наилучшее положение в игре, т.е. max выигрыш вне зависимости от действия других игроков.

Выигрыш - это мера эффекта для игрока.

В играх, отображающих экономическую ситуацию, выигрыш обычно измеряется в стоимостном выражении (прибыль, рентабельность и прочее).

(58) ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИГРЫ

Ограничимся для простоты случая двумя игроками, пос-

кольку обобщение на случай любого числа участников очевид-

ны.

Игрой двух лиц называется принятие решения этими лицами

в ситуации, для которых определены два мнножества Х и У и

две функции f1(x,y) и f2(x,y), областью определения кото-

рых является множество упорядоченных пар х и у таких,что

первая координата х берется из множества Х, а вторая из

множества У.

{ I xCX,yCУ }, где {} - множество

 - пара

I - что

Первый игрок выбирает х, принадлежащее Х, второй у С У

Партией игры называется выбор элементов упорядоченной

пары и вычисление f1 и f2.

Выбор только одного элемента упорядоченной пары, напри-

мер, хо С Х называется ходом первого игрока , а выбор уоСУ

 - ходом второго игрока.

Функции f1 и f2 называются платежными функциями первого

и второго игроков соответственно.

Любое х С Х называется чистой стратегий первого игрока,

а любое у С У - чистой стратегией второго игрока.

ИГРА В МОНЕТЫ

Каждый игрок кладет на стол монету. Если обе монеты вы-

ложены одной стороной, то выигрывает первый, если разной

стороной - выигрывает второй игрок.

X = { 0,P } У = { 0,P}

{ ,, }

f1(xy) = 1,, f2(xy) = 1,,

0,, 0,,

\ y

x \ 0 P

 -------------------

0 (1,0) (0,1)

p (0,1) (1,1)

(59) КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР

Реальные конфликтные ситуации приводят к различным видам игр. В зависимости от вида игры разделяются методы их решения. В настоящее время нет четко сложившейся классификации игр. Однако, можно указать основные направления, по которым эта классификация осуществляется:

1. В зависимости от количества игроков:

- двух игроков,

- n игроков.

2. По количеству стратегий:

- конечное (спортивнные игры),

- бесконечные.

3. По характеру взаимоотношений:

-бескоалиционные,

- кооперативные (СЭВ, НАТО),

- коалиционные ( международные отношения).

Бескоалиционными называются игры, в которых игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции. Кооперативные - коалиции определены заранее.

4. По характеру выигрышей:

- игры с нулевой суммой (военные ситуации),

- игры с ненулевой суммой (лотерея).

Игра с нулевой суммой - когда сумма выигрышей всех игроков, каждой из партии = 0,т.е. общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками в зависимости от полученных исходов.

Игра двух лиц с нулевой суммой является антагонистической, т.к. выигрыш одного игр. равен проигрышу другого.

Игры с ненулевой суммой - игры, в которых нужно платить взнос за право в участии в игре. Организатор всегда имеет выигрыш, а участники в сумме получают меньше, чем они внесли.

5. По виду функции выигрышей:

- матричные, - биматричные, - непрерывные, - выпуклые, - типа дуэлей.

6. По количеству шагов:

- одношаговые (заканчиваются после одного хода каждого игрока), - многошаговые (порционные, стохастические, дифференцированные).

7. В зависимости от состояния информации:

- с полной,

- с неполной информацией.

Если при каждом ходе каждому игроку известно, какие выборы были сделаны игроками ранее, то это игра с полной информацией.

(60) МАТРИЧННЫЕ ИГРЫ

Это игры двух игроков с нулевой суммой. В этой игре

выигрыш первого игрока задается в виде матрицы. Строка

матрицы соответствует номеру принимаемой стратегии первого

игрока. Столбец - номеру стратегии второго игрока. На пе-

ресечении строки и столбца находится выигрыш первого игро-

ка, соответствующий применяемой стратегии. Выигрыш первого

игрока равен проигрышу второго игрока, поэтому игра явля-

ется антогонистической.

m стратегий 1-й игрок

n стратегий 2-й игрок

aij - выигрыш первого игрока,если он использует i-ю

стратегию, а 2-й j-ю. Тогда матричнную игру друх игроков

можно задать платежной матрицей:

А = | a11 a12 ... a1n |

| a21 a22 ... a2n |

| . . ... . |

| am1 am2 ... amn |

aij значит первый игрок проигрывает величину

IaijI

Каждая стратегия первого игрока i=1,m называется его

чистой стратегией.

Пример:

Предприятию поручено выпускать 2 вида скоропортящейся

продукции р1 и р2. Ежедневные расходы на реализацию про-

дукции равны 200 руб. Необходимо определить ежедневнный

объем производства каждого вида продукции с целью получе-

ния максимальной прибыли.

Проведенные исследования по реализации продукции пока-

зали: если продукция нне реализуется в день выпуска,то ее

качество значительно снижается, и на следующий день она

может быть продана по цене в 4 раза ниже отпускной.

Отпускная цена - 1,2 $

себестоимость  - 0,8 $

Реализация продукции зависит от состояния погоды. В хо-

рошую погоду реализуется 10000 р1 и 6000 р2; в плохую пого-

ду 4000 р1 и 1200 р2.

продукция р1 р2

 ------------------------

цена 1,2 0,8

себест-сть 0,8 0,5

Для предприятия важно знать соотношение погоды и произ-

водить продукции в таком объеме и ассортименте, чтобы она

реализовывалась каждый день. Если можно было бы предска-

зать состояние погоды, то оптимальным планом производства

был бы план,полностью ориентирующий на состояние погоды.

Т.к. в настоящее время нет надежных способов прогноза по-

годы,то предприятие должно составлять план в условиях не-

определенности.Поэтому ситуацию можно рассматривать как

игровую.

Имеется 2 игрока: предприятия и природа. Каждый игрок

имеет 2 стратегии:

природа: { хорошая и плохая }

предприятия: продукция на {хорошую и плохую погоду}.

Нулевая сумма: выигрыш предприятия - это прибыль,кото-

рую оно получает от продажи продукции, выигрыш природы -

убытки, которые терпит предприятие.

хор плох

А = хор | a11 a12 | = | 2000 -1080 |

плох | a21 a22 | | 1140 1760 |

прибыль

a11 = 0,4*1000 + 0,3*6000 - 200 = 2000

a12 = 0,4*1000 + 0,3*1200 - 200 - 0,3*4800 - 200 = -1440

a21 =(0,4*1000+0,3*1200-200)+(-0,3*3000-200)=1140

a22 = +0,4*4000 + 0,3*1200 - 200 = 1760

(61) РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР В ЧИСТЫХ СТРАТЕГИЯХ

Основной вопрос: существуют ли наилучшие оптимальные

способы ведения игры для каждого игрока,т.е. имеются ли у

них оптимальные стратегии.

Оптимальные стратегии (смысл):

Каждый игрок считает своего противника "разумным",т.е.

старающимся выиграть у него как можно больше. При таком

положении естественно считать стратегии оптимальными,если

один из них не уменьшит своего выигрыша при любых страте-

гиях другого игрока.

А = | a11 ... a1n |

| . ... . |

| am1 ... amn |

Cамое маленькое число в строке ---> гарантирует выигрыш

1 игрока.

max ( min (aij)) = L

i j

Число L называется чистой нижней ценой игры. Оно пока-

зывает, какой min выигрыш может гарантировать себе первый

игрок, используя свои чистые стратегии при любых действиях

второго игрока.

Рассуждая таким же образом, второй игрок выбирает стра-

тегию так, чтобы проигрть как можно меньше.

min ( max (aij)) = b

j i

Число b называется числовой верхней ценой игры. Оно по-

казывает, какой максимальный выигрыш за счет выбора своих

чистых стртегий может выигрть себе 1-й игрок.

Т.о. применяя чистые стратегии 1-й игрок может обеспе-

чить себе выигрыш не меньше L, а второй игрок за счет ис-

пользования своих чистых стратегий может не допустить вы-

игрыш 1-го игрока больше, чем b.

max ( min (aij)) = i j j i

В случае, когда соотношение (1) выполняется как

равество ( L = b ) соответствующие чистые стратегии игроков

называются оптимальными, а про игру говорят ?????????????

Определение чистой стратегии здесь означает, что ни

один игрок не стремится изменить свою стратегию,т.к. его

противник может нна это ответить выбором другой стратегии,

дающий худший для 1-го игрока результат ==> стратегия ра-

зумного поведения.

Определение: Точка с координатой (io,jo) СЕДЛОВОЙ ТОЧ-

КОЙ платежной матрицы А, если выполняется следующее усло-

вие:

aiojo = точка наименьшая в строке

aiojo >= aij0 ==> точка наибольшая в столбце

ТЕОРЕМА

Для того,чтобы игра имела решение в чистых стратегиях,

т.е. чтобы выполнялось условие

max ( min (aij)) = min ( max (aij))

необходимо и достаточно, чтобы платежная матрица имела

седловую точку.

Пример.

А = | 3 5 6 | ==> проверим, имеет ли эта матрица

| 1 2 3 | оптимальное решение в чистых

| 0 7 4 | стратегиях.

Для этого нужно посмотреть, имеет ли матрица седловую

точку.

a11 - седловая точка этой матрицы. Это означает, что

оптимальная чистая стратегия 1-го игрока является 1-ая

стратегия, и у 2-го игрока тоже первая стратегия.

Не всякая матричная игра имеет платежную матрицу, со-

держащую седловую точку, другими словами, не всякая мат-

ричная игра имеет оптимальное решение.

Пример: игра в монеты.

А = | 1 -1 |

|-1 1 |

(62) РЕШЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ

Введем понятие смешанной стратегии. Пусть 1-й игрок

для определения своей стратегии применяет метод случайно-

го выбора, такой,что вероятность выбора 1-ой стратегии

(х1), второй -х2 и ... хn.

Тогда вектор X (x1,x2,...,xn) при условии, что

n

xi >= 0, i=1,n и xi = 1,

i=1

называется смешанной стратегией первого игрока.

Любая чистая стратегия является частным случаем смешан-

ной стратегии, с вероятностью выбора этой стратегии рав-

ной 1.

Определение:

Функцией выигрыша для 1-го игрока является математичес-

кое ожидание этого выигрыша, которое определяется

следующим образом:

E (x,y) = X A Y = aij xi yj

j i

y1 ... ym

A = x1 | a11 ... a1m |

x2 | a21 ... a2m |

. | . ... . |

xn | an1 ... anm |

Пример: игра в монеты,т.к. матрица не имеет седловой

точки, решение следует искать в смешанных стратегиях.

A = | 1 -1 |

|-1 1 |

X = (x,1-x)

Y = (y,1-y)

E(x,y) = xAy = (x,1-x)*| 1 -1|*| y | =

|-1 1| |1-y|

=(2x-1 1-2x)*| y | = (2x-1)*y + (1-2x)*(1-y) =

|1-y|

=4xy - 2yy - 2x + 1

max E(x,y)

dy 1 1 1

 -- = 4y - 2 = 0, y = - Хопт (-;-)

dx 2 2 2

dx 1 1 1

 -- = 4x - 2 = 0, x = - Yопт (-;-)

dy 2 2 2

E(x,y) = 4*1/2*1/2 - 2*1/2 - 2*1/2 + 1 = 0

Выигрыш равен 0, оптимальные стратегии следовательно не

связаны с риском проигрыша.

Определение:

РЕШЕНИЕМ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ называется такая пара смешанных

стратегий (х,у) и число V называемое ЦЕНОЙ ИГРЫ, что вы-

полняется следующее условие:

E(x,y) >= V, j=1,m

E(i,j) = Если первый игрок применяет свою смешанную стратегию, а

второй - любую свою чистую стратегию,то выигрыш первого

игрока не менее V ---> цены игры. Для второго - аналогич-

но, то проигрыш второго игрока не более V.

ТЕОРЕМА

Любая матричная игра имеет оптимальное решение в сме-

шанных стратегиях.

(63) ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ И ЗАДАЧИ

ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Для любой матричной игры, заданной матрицей А можно

построить пару двойственных задач линейного программирова-

ния, причем решению этих задач будет соответствовать реше-

ние матричной игры и наоборот.

Смешанная стратегия 1-го игрока:

n

X (x1,...,xn), xi>=0, xi = 1 (1)

i=1

n

Y (y1,...,yn), yi>=0, yi = 1 (2)

j=1

E (X,Y) >= V

j = 1 ==> первый игрок выбирает свою первую чистую

стратегию: Y (1,0,...,0)

E (X,Y) = xi aij yj

i j

A = x1 | 1 ..... |

x2 | a11 ... a1m |

. | . ... . |

xn | an1 ... anm |

a11x1 + a21x2 + ... + an1xn >= V

a12x1 + a22x2 + ... + an2xn >= V =>для 2-й чистой страт.

.......... (3)

a1mx1 + a2mx2 + ... + anmxm >= V

xi >= 0 (4)

xi = 1 (5)

i

Без ограничения общности считаем,что V >= 0.

Поделим на V и введем замену переменных:

xi

xi` = -- (6)

V

a11x1` + a21x2` + ... + an1xn` >=1

................ (3`)

a1mx1` + a2mx2` + ... + anmxm` >=1

xi` > 0 (4`)

1

x1` + x2`+....+ xn` = - --> min (5`)

V

Соотошения (3`-5`) определяют задачу линейного програм-

мирования. Из решения системы ограничений (3`) найти такие

неотрицательные х`, чтобы функция (5`) была min и выполня-

лось (4`).

Такие же соотношения составим для второго игрока:

E(i,j)= a11y1 + a12y2 +...+ a1mym= .............. (7)

an1y1 + an2y2 +...+ anmym= yj >= 0 (8)

yj = 1 (9)

yj

yj` = -- (10)

V

a11y1`+a12y2`+...+a1mym`= ............ (7`)

an1y1`+..........+anmym`= yj`>=0 (8`)

1

y1`+y2`+ ........+ym` = - --> max (9`)

V

Т.к. второй игрок старается проиграть как можно меньше,

то он должен V ---> min, а значит 1/V --> max.

Задача (7`-9`) - задача линейного программирования

двойственная к задаче (3`-5`).

Для того,чтобы найти решение матричной игры, следует

решить пару двойственных задач линейного программирования,

эквивалентных этой матричной игре. Решением будут вектора

X и Y, 1/V.

отсюда пользуясь соответствиями (6) и (10).

Пример:

А = | -2 -1 5 |

| 1 -2 3 |

| 3 1 -4 |

1. Проверим,есть ли седловая точка. В нашем примере ее

нет, значит нет решения в чистых стратегиях.

2. Имеем решение матричной игры в смешанных стратегиях:

X (x1,x2,x3)

Y (y1,y2,y3)

Для решения используем переход к задаче линейного прог-

раммирования:

xi 2x1` + x2`+ 3x3` >=1 | y4 |

xi`=-- x1` -2x2`+ x3`>=1 | y5 |

V 5x1`+ 3x2`- 4x3` >=1 | y6 |

yj

yj`=--

V 1

xi` >= 0, x1`+x2`+x3` =-- --> min

V

Строим вторую задачу:

 -2y1`+ y2` + 5y3`==0

yy1` - 2y2`+ 3y3`=max

3y1` + y2` - 4y3`=

???????????? балансовые переменные.

Составляем симплекс таблицу:

 --------------------------------------------------------

С | Базис | y1` | y2` | y3` | y4` | y5` | y6` | Решение

 --------------------------------------------------------

0 | y4 | -2 | +1 | 5 | 1 | 0 | 0 | 1

0 | y5 | 1 |  -2 | 3 | 0 | 1 | 0 | 1

0 | y6 | 3 | 1 | -4 | 0 | 1 | 1 | 1

 --------------------------------------------------------

| j | -1 |  -1 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 max

 --------------------------------------------------------

| y4 | -5 | 0 | 1 | 1 | 0 | -1 | 2

| y5 | 7 | 0 | -5 | 0 | 1 | 2 | 3

| y6 | 3 | 1 | -4 | 0 | 0 | 1 | 1

 --------------------------------------------------------

| j | 2 | 0 | -5 | 0 | 0 | 0 | 1

 --------------------------------------------------------

j - коэффициенты целевой функции, взятые с обратным

знаком.

j = cj - aij ci

alj

alj`= ----;

alk

l - номер направляющей строки,

k - номер разрешающего столбца,

alk - главный элемент,

y`опт = (0,9,2)  --> из столбца решений

V = 1/11

X`опт = (5/11,0,6/11) Yопт =(0,9/11,2/11)

??????????????????????

 - это решения матричной игры.

aik*alj aij*alk-aik*alj

Метод Гаусса: a`ij=aij - -------- = ----------------

alk alk

(64) РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР ПОРЯДКА 2X2

A = | a11 a12 |

| a21 a22 |

Найдем решение этой игры сведением к задаче линейного

программирования.

X = (x1,x2) - смешанная стратегия 1-го игрока,

Xi >= 0, x1 + x2 = 1

Y = (y1,y2) - смешанная стратегия 2-го игрока,

Yi >=0, y1 + y2 = 1

Используя определение решения матричной игры в смешан-

ных стратегиях

E (X,Y) >= V, j=1,n

E (i,j) >= V, i=1,m

Построим две задачи линейного программирования:

Y`--> a11x1 + a21x2 >= V

a12x1 + a22x2 >= V (1)

X`--> a11y1 + a12y2 a21y1 + a22y2 x1 + x2 = 1, xi >= 0,

y1 + y2 = 1, yj >= 0

xi yj

Xi` = --; xi` > 0, Yj` = -- ; Yj` > 0

V V

Получим пару двойственнных задач линейного программиро-

вания. Решая эти задачи получим решения:

X`(x1`,x2`)

Y`(y1`,y2`)

В этих решениях все компоненты неотрицательны.

Применим вторую теорему двойственности, согласно кото-

рой положительным компонентам в оптимальном решении одной

из двойственных задач соответствует ограничение другой за-

дачи, когда ее оптимальные решения обращаются в равенство.

Т.к. Xi > 0, то ограничение (2) обращается в равенство

Yj > 0, то ограничение (1) обращается в равенство

Составляем ограничивающие (1) и (2) равенства:

a11x1 + a21x2 = V a11y1 + a12y2 = V

a12x1 + a22x2 = V a21y1 + a22y2 = V

и находим решение матричной игры 2х2.

A = | 2000 -1080 |

|-1140 1760 |

2000x1 - 1140x2 = V

 -1080x1 + 1760x2 = V

x1 + x2 = 1

x1 = 1 - x2

2000 - 2000x2 - 1140x2 = -1080 + 1080x2 + 1760x2

x2 = 0,52

x1 = 0,48

Как применить найденное решение для практических реко-

менндаций в экономике?

Используя эти данные мы должны дать предприятиям реко-

мендации о каком-то среднем выпуске, который приносил бы

такой же доход, как если бы мы руководствовались смешанной

стратегией.

Продукция 1 вида: 1000*0,48 + 4000*0,52 = 2560

Продукция 2 вида: 6000*0б48 + 1200*0б52 = 3504

(65) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИННТЕРПРЕТАЦИЯ ИГР 2X2

Пусть матричная игра задана платежной матрицей А.

Оси координнат Х соответствует смешанным стратегиям

1-го игрока, V - ось выигрышей.

V I

I Смешанная стратегия 1-го

a22I игрока X(x,1-x),

I X > 0, X I

AI

a21I

I

I________________________ X

0

X = 0, соответствует 2-й чистой стратегии 1-го игрока.

От 0 до 1 -различные варианты смешанных стратегий 1-го

игрока.

Подсчитаем математическое ожидание выигрыша 1-ым игроком.

Стратегии | выигрыш 1-го

2-го игрока | игрока

 ----------------------------------

1 | a11x + a21(1-x) = V (математ.ожидание)

2 | a12x + a22(1-x) = V

Построим графики математических ожиданий. Верхняя и

нижняя цена игры:

b = min ( max aij) = a21; L = a11 = max (min aij)

Наш выигрыш лежит на отрезке от a11 до a21.

Пусть 1-й игрок применяет свою смешанную стратегию.

Оптимальная смешанная стратегия 1-го игрока

(Xa,1 - Xa); V определяет его гарантированный выигрыш.

Отсюда ПРАВИЛО РЕШЕНИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР ГРАФИЧЕСКИМ СПОСО-

БОМ:

Графическим методом можно найти решение игры, в которой

хотя бы одн игрок имеет только две стратегии, т.е.это игры

порядка 2хn или nx2.

Выигрыш подсчитывается для игрока,который имеет 2 стра-

тегии и уравнение выигрыша пишется для некоторой стратегии

другого игрока.Построив ??????????????????????

выигрышам игрока находим нижнюю огибающую области (персече-

ние этих графиков) в случае,если ищем решение для 1-го иг-

рока, и верхнюю огибающую, если ищем решение для 2-го.

В первом случае оптимальное решение в наивысшей точке

нижней огибающей, во 2-м случае наинизшей точке верхней

огибающей.

Рассмотрим игру 2х4. Перед тем,как начать решать матри-

цу нужно ее упростить.

А = | 2 2 3 -1 |

| 4 3 2 6 |

X = (x,1-x), Y = (y1,y2,y3,y4)

Будем искать выигрыш 1-го при всех стратегиях второго.

V I

стратегия | выигрыш I

второго | первого I

 ------------------------ I

1 | 2x + 4(1-x) I

2 | 2x + 3(1-x) I

3 | 3x + 2(1-x) I

4 | -x + 6(1-x) I________________________X

Нижяя цена игры L = 2.

Верхняя цена игры b = 3.

Выигрыш на отрезке от 2 до 3.

А - оптимальное решение.

I(II) - осталась, не задействована,т.к. она доминирую-

щая и ее можно было исключить.

 -x + 6(1-x) = 3x + 2(1-x)

 -8x = -4

x = (1/2,1/2) V = 5/2

Для второго игрока найдем решение:

2y1 + 2y2 + 3y3 - y4 = 5/2

4y1 + 3y2 + 2y3 + 6y4 = 5/2

y1 + y2 + y3 + y4 = 1

y1 = 0, т.к. I стратегия второго игрока не содействова-

ла в решении.

Y = (0,1/2,1/2,0)

Описание предмета: «Моделирование производственных систем»

Литература

1. Т.И. Беспалова, А.В. Гузь. Основы художественного проектирования прически. – М.: Академия, 2012. – 176 с.
   
2. А.И. Астайкин, А.П. Помазков. Основы теории цепей. В 2 томах. Том 2. – М.: Академия, 2009. – 288 с.
   
3. А.И. Самыловский. Математические модели и методы для социологов. Книга 2. Математическая статистика. – М.: КДУ, 2009. – 154 с.
   
4. А.И. Самыловский. Математические модели и методы для социологов. Книга 1. Теория вероятностей. – М.: КДУ, 2009. – 216 с.
   
5. И.С. Меньшиков. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. – М.: Контакт Плюс, 2010. – 336 с.
   
6. Г.И. Назаренко, Г.С. Осипов. Основы теории медицинских технологических процессов. Часть 2. Исследование медицинских технологических процессов на основе интеллектуального анализа данных. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 144 с.
   
7. Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов. Лекции по СВЧ электронике для физиков. В 2 томах. Том 1. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 496 с.
   
8. И.В. Орлова, В.А. Половников. Экономико-математические методы и модели. Компьютерное моделирование. – М.: Вузовский учебник, Инфра-М, 2012. – 400 с.
   
9. В.П. Бочарников, И.В. Бочарников, С.В. Свешнков. Основы системного анализа и управления организациями. Теория и практика. – М.: ДМК Пресс, 2014. – 286 с.
   
10. В.И. Тищенко, Т.И. Жукова, Ю.С. Попков. Сетевые взаимодействия. Предмет исследования и объект моделирования. – М.: Ленанд, 2014. – 352 с.
    
11. В.И. Данилин. Финансовое и операционное планирование в корпорации. Методы и модели. Учебник. – М.: Издательский дом "Дело" РАНХиГС, 2014. – 616 с.
    
12. В.И. Новосельцев, Б.В. Тарасов. Теоретические основы системного анализа. – М.: Майор, Издатель А. И. Осипенко, 2013. – 536 с.
    
13. И.А. Волков, Л.А. Игумнов. Введение в континуальную механику поврежденной среды. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2017. – 304 с.
    
14. Е.И. Забудский. Математическое моделирование управляемых электромагнитных реакторов. – М.: Мегаполис, 2018. – 356 с.
    
15. Е.Ю. Кузнецова, П.П. Крылатков,С.И. Фоминых. Исследование систем управления. Учебное пособие. – М.: Юрайт,Издательство Уральского Университета, 2018. – 128 с.
    
16. А.И. Безруков, О.Н. Алексенцева. Математическое и имитационное моделирование. Учебное пособие. – М.: Инфра-М, 2017. – 228 с.
    
17. Г.С.Осипов, Н.В.Чудова, А.И. Панов, Ю.М. Кузнецова. Знаковая картина мира субъекта поведения. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. – 264 с.
    

Образцы работ

Задайте свой вопрос по вашей проблеме

		Гладышева Марина Михайловна marina@studentochka.ru +7 911 822-56-12 с 9 до 21 ч. по Москве.

Внимание!

Банк рефератов, курсовых и дипломных работ содержит тексты, предназначенные только для ознакомления. Если Вы хотите каким-либо образом использовать указанные материалы, Вам следует обратиться к автору работы. Администрация сайта комментариев к работам, размещенным в банке рефератов, и разрешения на использование текстов целиком или каких-либо их частей не дает.

Мы не являемся авторами данных текстов, не пользуемся ими в своей деятельности и не продаем данные материалы за деньги. Мы принимаем претензии от авторов, чьи работы были добавлены в наш банк рефератов посетителями сайта без указания авторства текстов, и удаляем данные материалы по первому требованию.